知知数 · 高中数学
第 23 讲 · 第六章 三角恒等变换

第二十三讲：两角和差与二倍角公式

掌握两角和差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式，训练凑角与齐次化简。

按讲义顺序整理
本讲来源课堂第 24 次课资料

学习目标

  • 能默写并正确使用六个和差公式。
  • 掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式。
  • 会用凑角消项、齐次化与知二求一完成恒等变换。

和差公式

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β,\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta, sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta, tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β.\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}.

余弦是“同名、异号”，正弦是“异名、同号”。

二倍角公式

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α,\displaystyle \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α,\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha, tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α.\displaystyle \tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}.

余弦二倍角的三种形式要根据题目中出现的是正弦、余弦还是平方差灵活选择。

恒等变换先观察“出现最多的角”，再决定拆角或凑角。公式不是越早展开越好，能消项的结构应优先保留。

常用策略

  • 凑角：把陌生角写成两个已知角的和或差；
  • 齐次化：除以同次幂转成正切；
  • 代换 1=tan⁡45∘1=\tan45^\circ 或 1=sin⁡2α+cos⁡2α1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha；
  • 知二求一：通过平方构造出所求的一次式。

方法总结

先识别角的关系，再选择公式；余弦二倍角有三种面貌，凑角和消项比盲目展开更重要。

自我检查

  1. 如何区分正弦与余弦和差公式的符号？ 2. 余弦二倍角三种形式各适合什么题型？