知知数 · 高中数学
第 24 讲 · 第六章 三角恒等变换

第二十四讲：恒等变换、三角应用与辅助角公式

综合三角恒等变换、给值求角与图像应用，用辅助角公式统一处理线性正余弦式。

按讲义顺序整理
本讲来源课堂第 25 次课资料

学习目标

  • 会用拆角与象限判断完成给值求值、给值求角。
  • 能用正弦型函数描述周期现象。
  • 掌握辅助角公式并用于最值、周期和图像问题。

综合恒等变换

给值求值时，先把目标角拆成已知角的和或差，例如

α=(α+β)−β,\displaystyle \alpha=(\alpha+\beta)-\beta,

再使用差角公式。含根号结果必须根据角所在象限判正负。互补角满足

sin⁡(π−t)=sin⁡t,tan⁡(π−t)=−tan⁡t.\displaystyle \sin(\pi-t)=\sin t,\qquad\tan(\pi-t)=-\tan t.

给值求角不能只算出某个三角函数值，还必须结合角的范围锁定唯一角。

辅助角公式

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ),\displaystyle a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi),

其中

cos⁡φ=aa2+b2,sin⁡φ=ba2+b2.\displaystyle \cos\varphi=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad \sin\varphi=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}.

它把两个同频率的正弦、余弦合成为一个正弦函数，从而直接读出振幅、最值、周期和相位。

辅助角公式的关键不是背某个固定角，而是先提出 a2+b2\sqrt{a^2+b^2}，再让剩余两个系数落在单位圆上。

三角函数建模

摩天轮高度、潮汐和周期运动都可用 Asin⁡(ωx+φ)+BA\sin(\omega x+\varphi)+B 表示。建模时分别从最高与最低位置确定 A,BA,B，由重复时间确定周期和 ω\omega，最后用初始位置确定 φ\varphi。

给值求角只写反三角函数值而不检查角的范围；辅助角合并时把 a,ba,b 对应的正余弦位置写反。

方法总结

综合题先拆角、再用范围判号；线性正余弦式用辅助角合并；周期应用依次确定中线、振幅、周期和初相。

自我检查

  1. 给值求角为何必须给出角的范围？ 2. 辅助角公式中的振幅是多少？ 3. 周期建模的四个参数分别从哪些信息得到？