第二十四讲 大纲：两角和差 · 二倍角
一、已学三角函数回顾
- 定义（象限正负）、sin²+cos²=1、sin·cos 互化、诱导公式、正余弦图像（A·sin(ωx+φ)）
二、和差公式（六个，务必默写）
| 公式 |
内容 |
记忆法 |
| cos(α+β) |
cosαcosβ − sinαsinβ |
cos：同名、异号 |
| cos(α−β) |
cosαcosβ + sinαsinβ |
|
| sin(α+β) |
sinαcosβ + cosαsinβ |
sin：异名、同号 |
| sin(α−β) |
sinαcosβ − cosαsinβ |
|
| tan(α+β) |
(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ) |
碳加碳 / 一减碳 |
| tan(α−β) |
(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ) |
碳减碳 / 一加碳 |
三、四个特殊角（建议背）
- sin15° = (√6−√2)/4
- sin75° = (√6+√2)/4
- tan15° = 2−√3
- tan75° = 2+√3
四、二倍角公式
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²−sin² = 2cos²−1 = 1−2sin²（三种形式）
- tan2α = 2tanα/(1−tan²α)
五、解题方法（必考）
- 凑角消项：抓出现最多的角，和差/倍角展开后抵消
- 齐次化：除以 sin²+cos²，用 tan 表示
- "1=tan45°" / "1=sin²+cos²" 代换
- 知二求一：平方构造 + sin²+cos²=1
六、典型例题结论
- 例二：sinαcosα = −1/2（选 A）
- 例三：sin70cos50 − sin50cos110 = √3/2（选 C）
- 例四：(1+tan15)/(1−tan15) = √3
- 例六：tan10 + tan50 + √3·tan10·tan50 = √3（选 D）
- 例九：tanθ=1/2 ⇒ cos2θ = 3/5（选 D，原口播 1/3 已更正）
七、作业