第二十四讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式 · 二倍角公式

来源：20260810182916-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑高一数学 X 班（序班），第 24 讲（承接三角函数图像、诱导公式、恒等变形）说明：已剔除课前 / 课间闲聊、点名、游戏闲谈（约 01:01–01:10 为王者荣耀闲聊，已删）、转录乱码（大量无意义英文音节）；修正口误与 ASR 符号错转；按内容逻辑重排分段。角度结果一律以规范数学符号呈现。

一、回顾：我们已经学了哪些三角函数内容

到目前为止，三角这条线已经铺开：

任意角三角函数定义（哪个象限为正、为负）；
sin²α + cos²α = 1；
sinαcosα、sinα±cosα 的相互转换；
诱导公式；
正、余弦函数的图像（A·sin(ωx+φ) 型）。

这些是基础。今天进入"深水区"——两角和与差的公式，以及它们推出来的二倍角公式。这是整个高一三角函数里技巧性最强、难度最大的一块。

二、两角和与差公式

1. 余弦的和差公式

cos(α+β) = cosα cosβ − sinα sinβ cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ

记忆法（重点）：

cos 同名、异号——展开后函数名都是 cos 与 cos、sin 与 sin 相乘（同名），前面的符号与括号外的加减"相反"（加号对应减、减号对应加）。

2. 正弦的和差公式

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ sin(α−β) = sinα cosβ − cosα sinβ

记忆法：

sin 异名、同号——展开后是 sin·cos 与 cos·sin（异名），前面符号与括号外加减"相同"。

3. 正切的和差公式（由 sin/cos 推出）

tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 − tanα tanβ) —— 口诀"碳加碳，除以一减碳" tan(α−β) = (tanα − tanβ) / (1 + tanα tanβ) —— 口诀"碳减碳，除以一加碳"

推导：把 sin(α+β)、cos(α+β) 上下同除以 cosα cosβ 即可。

建议把以上六个公式先抄在草稿纸上，自己动手推一遍，比单纯背更牢。

三、四个特殊角的值（建议背下来）

用上面的公式，把 15°、75° 拆成 45°±30°：

sin15° = sin(45°−30°) = (√6 − √2)/4
sin75° = sin(45°+30°) = (√6 + √2)/4
tan15° = 2 − √3
tan75° = 2 + √3

四、二倍角公式（令 β = α 代入和角公式即得）

sin2α = 2 sinα cosα
cos2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α（三种形式都要会）
tan2α = 2 tanα / (1 − tan²α)

五、例题精讲

例二（知二求一 / 平方构造）

已知两组平方关系，目标求 sinα cosα 这类"整体值"。思路：把已知式平方后相加，利用 sin²+cos²=1 把"2 倍 sinαcosα"暴露出来。 结论：sinα cosα = −1/2，选 A。

注意：本题板书系数在转录中多处错位（S 方 / C 方混读），具体数字以课本第 78 页原题为准；所用"平方—相加—利用 sin²+cos²=1"的方法无误。

例三（凑特殊角）

化简 sin70°cos50° − sin50°cos110°。

cos110° = −cos70° = −sin20°，故 −sin50°cos110° = sin50°cos70°；
原式 = sin70°cos50° + sin50°cos70° = sin(70°+50°) = sin120° = √3/2。 结论：选 C。

例四（"1 = tan45°" 的代换技巧）

遇到常数 1，可写成 tan45° 参与和角： (1 + tan15°)/(1 − tan15°) = (tan45° + tan15°)/(1 − tan45°tan15°) = tan(45°+15°) = tan60° = √3。 结论：√3。

"0 很狡猾，1 也很狡猾"——常数 1 可以伪装成 tan45°、sin²+cos²、a⁰ 等多种形式，做题要会"识破"。

例六 / 变式四（正切和角的逆向）

由 tan60° = (tan10° + tan50°)/(1 − tan10°tan50°) = √3，移项：tan10° + tan50° = √3(1 − tan10°tan50°)，即 tan10° + tan50° + √3 tan10°tan50° = √3。 结论：选 D（变式同理）。

例九（齐次化，用 tanθ 求 cos2θ）

已知 tanθ = 1/2，求 cos²θ − sin²θ。把式子除以 sin²θ+cos²θ=1 齐次化： cos²θ − sin²θ = (1 − tan²θ)/(1 + tan²θ) = (1 − 1/4)/(1 + 1/4) = (3/4)/(5/4) = 3/5。 结论：选 D。

本讲修正：原转写口播把结果说成 1/3（把 (1−t²)/(1+t²) 算错），正确值应为 3/5，已更正。

例十一 ~ 例十五（"抓出现最多的角"消项法）

这类题的通用套路：

看哪个角出现次数最多；
把其它角往这个角上"凑"（用和差角、倍角展开）；
展开后同名项相互抵消，只剩常数或特殊角。

典型如：把 10° 与 20° 往 30° 靠（30−10、30−20），把 20° 与 40° 往 60° 靠（60−40、60−20），利用 sin(30−10)=sin20 等互化，展开后大量相消，最后得到 −√3、√3/2 等结果（具体题号见课本第 78–79 页）。

方法小结：这类"三角凑角"和学均值不等式时的"凑"是同一种直觉——把目标凑成已知结构。

六、结课与作业

本讲核心：和差公式（六个）+ 二倍角公式（三种形式）+ 凑角消项、齐次化、1=tan45° 三大技巧。
作业：必刷题对应"恒等变换"小测（章节标题与必刷题对应）；本讲偏难，建议先巩固公式再刷题。

本讲修正 / 注意点

例九原口播结果为 1/3，已按正确计算更正为 3/5。
例二、例十一~十五的系数在 ASR 中严重错位（S/C、平方与乘积混读），方法正确但精确数字以课本第 78–79 页为准。
约 01:01–01:10 为课间游戏闲聊（王者荣耀），已全部剔除。
角度结果已统一为规范数学符号。