第 23 讲 知识大纲：三角函数图像与性质 · 复合正弦型函数 · 参数范围
配套清洗稿：clean_transcript_class23.md ｜ 课时：7/9 第 23 讲（高一数学 X 班，序班）
一、正弦/余弦基本性质（回顾，需背）
- 定义域 ℝ，值域 [−1, 1]，最小正周期 2π。
- 周期函数未必有最小正周期（如 y = 1 常函数）。
- sin x：
- 增区间 [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]；减区间 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]。
- 最大值 1（
x = π/2 + 2kπ）；最小值 −1（x = −π/2 + 2kπ）。 - 对称中心
(kπ, 0)；对称轴x = π/2 + kπ。
- cos x 平行（差一个相位平移）。
二、y = A sin(ωx + φ) + B 参数含义（速查表）
| 字母 | 名称 | 影响 |
|---|---|---|
| A | 振幅 | 纵向拉伸，决定值域宽 |
| ω | 角频率 | 横向伸缩：ω 大→密→周期短；ω 小→疏→周期长 |
| φ | 初相 | x = 0 处的相位（整体平移） |
| ωx + φ | 相位 | 随 x 变化的"角度位置" |
| B | 纵向平移 | 值域整体搬家 |
- 周期公式（必背）：
T = 2π / ω（与频率成倒数关系）。
三、图像变换（先平移后伸缩 vs 先伸缩后平移）
- 例：
sin x → 2 sin(2x + π/3)。 - 先平移后伸缩：左移 π/3 再压缩 → 平移量被"放大"。
- 先伸缩后平移：压缩后再左移 π/6 → 平移量被"压缩"。
- 口诀：先平移平移量被放大，先伸缩平移量被压缩；抓不动点 / 周期相同。
四、整体代换法（核心套路）
把 ωx + φ 当整体，按 sin t 列条件，再解 x。
- 最值：整体 =
π/2 + kπ（最大）/−π/2 + 2kπ（最小）。 - 对称中心：整体 =
kπ。 - 对称轴：整体 =
π/2 + kπ。 - 单调区间：把整体塞进 sin t 的增/减区间再解 x。
范例：y = 2 sin(2x + π/3) + 1
- 值域 [−1, 3]；周期 π；无奇偶性。
- 增区间 [−5π/12 + kπ, π/12 + kπ]；减区间 [π/12 + kπ, 7π/12 + kπ]。
- 对称中心
(−π/6 + kπ/2, 1)；对称轴x = π/12 + kπ/2。
奇偶判定速记
- 偶函数 ⇔ x = 0 取最值 ⇔
φ = π/2 + kπ（且形式合适）。 - 奇函数 ⇔ x = 0 取 0 值 ⇔
φ = kπ（且 B = 0）。 - 奇 × 偶 = 奇（如
sin x · |cos x|是奇函数）。
五、例题结论（第 60–62 页）
| 题 | 结论 |
|---|---|
| 周期 π + 在 [π/2,π] 递增 | 选 B |
| 周期 π + 偶函数 | 选 C |
| [π/4,π/2] 减 + 奇函数 | 选 B（sin 2x 类） |
| 奇函数辨识 | 选 D（`sin x· |
| 对称轴/中心题 | 选 D（整体 = kπ） |
例六 −sin(2x−π/3) 增区间 |
[−π/12 + kπ, 5π/12 + kπ]，选 A |
变式一 −sin(2x−π/6) 增区间 |
[−π/6 + kπ, π/3 + kπ]，选 B |
例七 [0,a] 上 sin(2x+π/3) 递增 |
a ∈ (0, π/12]，选 A |
| 例八 比 sin1·sin2·sin3 | sin2 > sin1 > sin3 |
| 例九 单位圆区间长最小 | b − a 最小 = 2π/3 |
六、"真实值—相位"对应法（参数 ω 范围 · 期末压轴）
- 真实值 = x 的实际区间；相位 =
ωx + φ；x = 0 时的相位即初相。 - 把区间端点真实值代入，令相位落在目标区间边界，反解 ω。
- 例
sin(ωx − π/6)在[0,π]：ω ∈ [2/3, 4/3]（相位π/2、7π/6反解）。 - 零点个数：
sin(ωx)在[0,π]恰有 n 个零点 ⇔ω ∈ [n−1, n)。 - 对称轴/中心个数题手法完全一致（端点真实值 → 相位卡边界）。
- 期末压轴
sin(ωx − π/6)在[2π/3, 5π/6]递减，各选项 ω 值：1、2、8/3、8/5（逐一代入判定）。
七、作业
- 讲义/必刷题 108 页（图像变换 + 参数 ω 范围综合）。
- 易错：端点"绕出去"不再单调——第三段区间后图像变密，务必端点校验。
必考提醒
- ⚠️ 图像变换、复合三角函数性质、参数 ω 范围题 = 高一上期末选择题压轴（含多选最后一项）必考。
- ⚠️ 取值范围一律用集合/区间写（如
ω ∈ [2/3, 4/3]），不写纯不等式。 - ⚠️ 带负号先提负号再判定单调区间，最不易错。