第 23 讲三角函数图像与性质 · 复合正弦型函数 · 参数范围

来源：20260809182907-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt（单人授课转写）课时：2026 暑 0 期高一数学 X 班（序班），7/9 第 23 讲（承接三角函数/图像）说明：已剔除课前/课间闲聊、点名、ASR 乱码与破碎句；修正口误与符号转写错误；按内容逻辑分段。承接 class1–15、class3 风格。

一、承上启下：正弦/余弦函数的基本性质

昨天认识了 sin x、cos x 的图像，今天系统讲它们的性质。以 sin x 为例：

定义域：ℝ（全体实数）；
值域：[−1, 1]（图像上下被 ±1 夹住，不会超出）；
周期性：最小正周期为 2π。每转一个 2π（360°），函数值重复。
- 注意：周期函数不一定有最小正周期，例如 y = 1（常函数），任意正数都是它的周期，没有"最小的那个"。
单调性（需背下来，以后直接用）：
- 单调递增区间：x ∈ [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]，k ∈ ℤ；
- 单调递减区间：x ∈ [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]，k ∈ ℤ。
最值点：
- 最大值 1，当 x = π/2 + 2kπ；
- 最小值 −1，当 x = −π/2 + 2kπ（即 3π/2 + 2kπ）。
对称性：
- 对称中心：与 x 轴的每个交点 (kπ, 0)，即整体 x = kπ；
- 对称轴：过每个最大值、最小值点的竖直线 x = π/2 + kπ。
- 规律：每半个周期就出现一次轴 / 一次中心。

cos x 的性质完全平行，只差一个相位平移（cos x = sin(x + π/2)）。

二、复合正弦型函数 y = A sin(ωx + φ) + B 的参数含义

认识字母读音（A、ω 即"欧米伽"、φ 即"phi"）后，重点是每个参数对图像的影响：

字母	名称	物理类比	对图像的影响
A	振幅	响度（A 越大声音越响）	纵向拉伸 / 压扁，决定值域宽度
ω	角频率	频率（与周期成倒数）	横向伸缩：ω 越大越密、周期越短；ω 越小越疏、周期越长
φ	初相	月相（x = 0 处的"相貌"）	整体左右平移
ωx + φ	相位	—	随 x 变化的"角度位置"
B	纵向平移	—	图像上下平移，值域整体搬家

周期公式（必背）：

T = 2π / ω

推导直觉：ω = 1 时就是 sin x，周期为 2π；ω 越大周期越短、ω 越小周期越长，正是倒数关系——与物理中"周期 T 与频率 f 互为倒数"一致。

三、图像变换：sin x → A sin(ωx + φ) + B

以 sin x → 2 sin(2x + π/3) 为例，有两种路径，关键区别在于平移量不同：

路径一：先平移，后伸缩

sin x → sin(x + π/3)：左移 π/3（"左加右减"），得到蓝色图；
sin(x + π/3) → sin(2x + π/3)：横坐标压缩为 1/2（周期变 2x）；
→ 2 sin(2x + π/3)：纵坐标拉伸 2 倍。
- 平移量 = π/3。先平移时抓的是** y 轴交点**（平移前后该点不动，是"不动点"）。

路径二：先伸缩，后平移

sin x → sin 2x：横坐标压缩为 1/2；
sin 2x → 2 sin 2x：纵坐标拉伸 2 倍，得到橙色图；
2 sin 2x → 2 sin(2x + π/3) = 2 sin[2(x + π/6)]：左移 π/6。
- 平移量 = π/6。先伸缩后两图周期已相同，只差一个平移。

口诀：先平移后伸缩，平移量会被"放大"；先伸缩后平移，平移量会被"压缩"。本质像两张不同比例尺的地图——同一段真实距离，在压缩后的地图上只要走一半。两种路径都对，只要每一步只达成一个目标、抓住相同之处（这里"2 与 2 相同、尾巴的 π/3 相同"）。

四、整体代换法求复合三角函数的性质（第 57 页表格）

核心思想：把 ωx + φ 看成一个整体，先按 sin t 的要求列条件，再解出 x。

以例题 y = 2 sin(2x + π/3) + 1 为例：

定义域：ℝ；
值域：sin 部分 ∈ [−1, 1] → 乘 2 得 [−2, 2] → 加 1 得 [−1, 3]；
周期：T = 2π / 2 = π；
奇偶性：x = 0 时 2 sin(π/3) + 1 ≠ 0 且 ≠ ±最值，无奇偶性。
- 判奇偶的通用规则：
  - 偶函数 ⇔ x = 0 处取最值 ⇔ φ = π/2 + kπ（且整体形式合适）；
  - 奇函数 ⇔ x = 0 处函数值为 0 ⇔ φ = kπ（且 B = 0）。
最值：令整体 2x + π/3 = π/2 + 2kπ 取最大值 3，得 x = π/12 + kπ；令整体 = −π/2 + 2kπ 取最小值 −1，得 x = −5π/12 + kπ；
对称轴：整体 = π/2 + kπ → x = π/12 + kπ/2；
对称中心：整体 = kπ → x = −π/6 + kπ/2，对应点 (−π/6 + kπ/2, 1)；
单调递增区间：整体 ∈ [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] → 2x ∈ [−5π/6 + 2kπ, π/6 + 2kπ] → x ∈ [−5π/12 + kπ, π/12 + kπ]；
单调递减区间：整体 ∈ [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] → 2x ∈ [π/6 + 2kπ, 7π/6 + 2kπ] → x ∈ [π/12 + kπ, 7π/12 + kπ]。

套路总结：整体代入、换元解 x。最值看整体取 π/2 + kπ；对称中心看整体取 kπ；单调区间把整体塞进 sin t 的增减区间里再解 x。

五、例题讲评（第 60–62 页）

1. 周期 + 奇偶 + 单调辨识题

在 [π/2, π] 上单调递增且最小正周期为 π 的函数 → 选 B；
周期为 π 且为偶函数 → 只有 C 选项（x = 0 时取最大值 y = 1，周期 2π/2 = π）→ 选 C；
在 [π/4, π/2] 上为减函数且为奇函数 → 奇函数先排除 C、D，再比图像得 选 B（sin 2x 类，在 π/4 处取最高值 2）。

2. 奇偶性辨识

"下列函数中是奇函数的是？" → 只有 D 选项：cos x 是偶、|cos x| 仍偶；sin x 是奇，奇函数 × 偶函数 = 奇函数 → 选 D。

3. 对称中心 / 对称轴题（第 61–62 页例五例六）

找对称轴需整体 = kπ + π/2；找中心需整体 = kπ。
某选项代入：2·(π/6) − π/3 = 0 = kπ 满足中心条件 → 选 D。

4. 带负号的复合（例六）

函数 y = −sin(2x − π/3) + …，负号在 2x 前，直接提负号更省事：求递增区间 ⇔ 内部 2x − π/3 落在 sin 的递增区间。

2x − π/3 ∈ [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] → 2x ∈ [−π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ] → x ∈ [−π/12 + kπ, 5π/12 + kπ] → 选 A；
变式一：y = −sin(2x − π/6) + …，同理 2x − π/6 ∈ [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] → x ∈ [−π/6 + kπ, π/3 + kπ] → 选 B。

5. 例七：已知在 [0, a] 上单调递增，求 a

y = sin(2x + π/3) 在 [0, a] 单调递增。

x = 0 时整体已到 π/3（60°）；要一直增到 90°，整体最多到 π/2，故 2a ≤ π/2 − π/3 = π/6 → a ≤ π/12，即 a ∈ (0, π/12] → 选 A。
类比推广：sin x 在 [0, a] 增 ⇒ a ≤ π/2；sin 2x ⇒ a ≤ π/4；sin 6x ⇒ a ≤ π/12。本质是看"整体"还能走多少。

6. 例八：比较 sin 1、sin 2、sin 3 的大小

画 sin x 在 [0, π] 上的图像（1 < π/2 < 2 < 3 < π）：

sin 1 ≈ 0.84，sin 2 ≈ 0.91（峰值附近最大），sin 3 ≈ 0.14（快回落到 0）。
结论：sin 2 > sin 1 > sin 3。

7. 例九：单位圆与区间长度（压轴型）

用单位圆看：求一个区间 [a, b] 使 sin x 在其上的值域包含 [−1, 1/2]，求 b − a 的最小值。

必须"捞住"最低点 −1（即包含 3π/2），同时向上够到值 1/2（sin = 1/2 于 π/6, 5π/6, 13π/6…）。
最短取法：[5π/6, 3π/2] 或 [3π/2, 13π/6]，长度均为 2π/3。
结论：b − a 的最小值为 2π/3。

六、"真实值"与"相位"对应法（参数 ω 范围问题）

这类题是期末考试选择压轴，方法统一：把 x 的"真实值"与括号里的"相位"建立一一对应，再列不等式。

概念

真实值：x 的实际取值（如 x ∈ [0, π]）；
相位：ωx + φ 这个整体（即 sin 的"自变量角度"）；
二者关系：x 每取一个数，相位就对应一个数。例如 y = sin(ωx − π/6)，x = 0 时相位 = −π/6（这就是初相，图像从 (0, −1/2) 启动）。

例：y = sin(ωx − π/6) 在 [0, π] 上满足某条件，求 ω

把 x = π 代入，令相位落在区间两端边界来定 ω：

相位 = π/2：ω·π − π/6 = π/2 → ω = 2/3（下界，可取）；
相位 = 7π/6：ω·π − π/6 = 7π/6 → ω = 4/3（上界，可取）。
结论：ω ∈ [2/3, 4/3]。

零点个数问题（同类"真实值—相位"法）

y = sin(ωx) 在 [0, π] 上恰有 n 个零点（x = 0 算一个）：

1 个零点：ω ∈ [0, 1)（实际 ω > 0 才有意义）；
2 个零点：ω ∈ [1, 2)（ω = 1 时 x = 0、π 两个零点，可取；ω = 2 时右端冲到 2π 多出零点，不可取）；
一般地，恰有 n 个零点 ⇔ ω ∈ [n−1, n)。
对称轴个数、中心个数问题，手法完全一样——把端点真实值翻译成相位去卡边界。

期末压轴（雅礼期末改编）：y = sin(ωx − π/6) 在 `[2π/3, 5π/6]` 上单调递减，判断 ω 各选项

递减要求"整体"落在 sin 的递减区间 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] 内。把端点真实值翻译成相位、反解 ω：

左端 x = 2π/3 对应相位 π/2：ω·(2π/3) − π/6 = π/2 → ω = 1；
右端 x = 5π/6 对应相位 3π/2：ω·(5π/6) − π/6 = 3π/2 → ω = 2；
左端对应相位 5π/2：ω·(2π/3) − π/6 = 5π/2 → ω = 8/3；
右端对应相位 7π/6：ω·(5π/6) − π/6 = 7π/6 → ω = 8/5。
每个选项的数字都能这样被算出来，逐一代入即可判定正误（该题 D 选项经核算正确）。

七、作业与结课

必刷题 / 讲义作业：做 108 页相关题（图像变换与参数 ω 范围综合）。
强调：第三段区间之后图像变密，端点可能"绕出去"不再单调——这类端点校验是易错点。
提醒：图像变换、复合三角函数性质、参数 ω 范围题，是高一上期末选择题压轴（含多选最后一项）必考，务必练熟"整体代换 + 真实值相位对应"。

本讲修正 / 注意点

转写把 sin x 减区间口误成"π/2 到 π/2 它是减的"，已修正为标准写法 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]。
第 57 页例 y = 2 sin(2x + π/3) + 1 的奇偶性，老师口播"没有奇偶性纪要有奇偶性"实为无奇偶性，已统一为"无奇偶性"。
ASR 将希腊字母名转成中文/乱码（"欧米伽/欧米茄""菲/finally"），已还原为 ω（角频率）、φ（初相）、相位 = ωx + φ。
期末压轴题中，右端 x = 5π/6 对应相位 7π/6 反解应为 ω = 8/5，原转写口播"22/5"系 ASR 错误，已静默修正。
所有取值范围均按 class3 规范以区间 / 集合形式给出（如 ω ∈ [2/3, 4/3]、a ∈ (0, π/12]），未写纯不等式。
第 57 页表格题的具体算式的精确端点（如对称中心的 kπ/2 步长、增减区间端点），建议对照课堂板书核对。