第7讲 · 双曲线的几何性质

取值范围约定：本讲凡涉及"取值范围"，一律用区间或集合 {x | …} 形式给出，不单独写 x > a 这类不等式。例如离心率范围写作 e ∈ (1, +∞)。

一、双曲线几何性质总览

以焦点在 x 轴上的标准方程为例：

x²/a² − y²/b² = 1   (a > 0, b > 0)

其几何性质对标椭圆，但要注意区别：

范围：由方程知 |x| ≥ a，而 y ∈ R（全体实数）。
对称性：关于 x 轴、y 轴、原点均对称。
顶点与轴：
- 实轴：连接两个顶点的线段，长为 2a（看得见、端点卡得死）。
- 虚轴：长为 2b，其端点不在双曲线上，故称为"虚"（没有实际端点）。
离心率：e = c/a，其中 c² = a² + b²。
- 椭圆：e ∈ (0, 1)；
- 双曲线：e ∈ (1, +∞)。
- 关系：e² = 1 + b²/a² = 1 + (b/a)²。因 b/a 是渐近线斜率的绝对值，故 e 越大 → 渐近线越陡 → 双曲线张口越大。

圆锥曲线可由离心率统一定义（第二定义），也可由"到两定点距离之差的绝对值"的原始定义出发。

二、渐近线

定义与求法：双曲线特有。将标准方程右侧的 1 改为 0，即
```
x²/a² − y²/b² = 0  ⇒  y = ±(b/a)x
```
即为渐近线方程。渐近线是画双曲线草图的关键特征：双曲线无限接近但永不相交于渐近线。
- 例：反比例函数 y = k/x 本质是旋转 45° 后的双曲线，其渐近线为 x 轴、y 轴。
等轴双曲线：实轴与虚轴等长，即 a = b。
- 此时 c² = a² + a² = 2a²，故 e = c/a = √2；
- 渐近线为 y = ±x。
共轭双曲线：将原方程 x²/a² − y²/b² = 1 中的 a²、b² 位置互换（即 x²、y² 互换），得
```
y²/a² − x²/b² = 1
```
二者实轴、虚轴互易。
焦点到渐近线的距离为定值 b
- 渐近线方程：y = (b/a)x，即 bx − ay = 0；右焦点 F₂(c, 0)。
- 点到直线距离：d = |b·c − a·0| / √(b² + a²) = bc / c = b。
- 几何证法：在直角三角形 OF₂P 中，OF₂ = c，tan θ = b/a，三边恰为 a, b, c，故该高即为 b。

三、直线与双曲线的位置关系

联立直线与双曲线方程，按二次项系数是否为零分类：

一般情形（二次项系数 ≠ 0）：用判别式 Δ 判断——Δ > 0 相交、Δ = 0 相切、Δ < 0 相离。
特殊情形（二次项系数为 0，即直线与渐近线平行）：
- 与渐近线平行的直线只与双曲线交于一点（甚至不交，如恰为渐近线本身则无交点）。
- 故双曲线中"一个公共点"≠"相切"：可能平行渐近线，也可能相切。

与椭圆对比：椭圆是封闭图形，一个解必为相切；双曲线非封闭，一解可为相交（平行渐近线）也可为相切，且交点可能分布在左支、右支或左右各一支，情形更丰富。

四、弦长公式与中点弦（点差法）

弦长公式（圆锥曲线通用，会反复使用）：

|AB| = √(1 + k²) · √[(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂]      （用 x 表示）
|AB| = √(1 + 1/k²) · √[(y₁ + y₂)² − 4y₁y₂]    （用 y 表示）

两版本分别适应不同需要（后续讲解）。

点差法求中点弦斜率：
- 椭圆中：k · k_OM = −b²/a²；
- 双曲线中符号相反：k · k_OM = b²/a²。
- 即若 M 为弦 MN 中点、O 为原点，则 k_MN · k_OM = b²/a²。

五、例题精讲·即学即练六

题：过点 (1,1) 的直线与双曲线 x² − y²/4 = 1 有且仅有一个公共点，求直线方程。

该双曲线渐近线为 y = ±2x。分两类：

(1) 直线平行于渐近线（必仅一交点）：

过 (1,1) 且平行 y = 2x：y = 2x − 1；
过 (1,1) 且平行 y = −2x：y = −2x + 3。

(2) 直线与双曲线相切（有斜率情形）：

设 y − 1 = k(x − 1)，即 y = kx + (1 − k)，代入 x² − y²/4 = 1：

x² − [kx + (1−k)]²/4 = 1

整理得（关键技巧：将 (1−k) 视为整体，不展开其平方）：

(1 − k²/4)x² − [k(1−k)/2]x − [(1−k)²/4 − 1] = 0

令判别式 Δ = 0。若不展开括号、直接按"二次项 / 一次项 / 常数项"系数口算 Δ，可大幅化简——其中含 (1−k) 的多项会在 Δ 中前后抵消，最终得：

−(k/2) + 5/4 = 0   ⇒   k = 5/2

故切线为 y = (5/2)x − 3/2。（另有一条斜率不存在的切线 x = 1，因题目要求"斜率"故不计。）

运算要点（"打包"技巧）：① 不把 a²b² 乘到右边（会放大系数、急剧增加计算量）；② 含 (1−k) 这类整体不展开括号，直接当作常数系数；③ 联立后按次数直接报出二次、一次、常数项系数。掌握这三点，此类题可快速口算。

六、离心率取值范围问题

变式1：双曲线右支上存在到中心 O 与右焦点 F 距离相等的两个相异点。

这些点在线段 OF 的中垂线 x = c/2 上；要它与双曲线右支有两个交点，需 c/2 > a，即 c > 2a。
故 e = c/a > 2，取值范围：
```
e ∈ (2, +∞)
```

变式2：作半径为 a 的圆，结合 △CBA（c, b, a 构成的三角形）得约束 AB > c，其中 AB = 2√(a² − b²)。

4(a² − b²) > c²，代入 b² = c² − a²：

4[a² − (c² − a²)] > c²
8a² − 4c² > c²
8a² > 5c²
c²/a² < 8/5

又 e > 1，故：

e ∈ (1, 2√10/5)      （2√10/5 = √(8/5) ≈ 1.265）

变式3：点到渐近线距离为 9/5，构造边长为 9/5、12/5、15/5 的直角三角形，其角的正切即 b/a：

b/a = (9/5)/(12/5) = 3/4，于是 c/a = 5/4（3-4-5 关系），即 e = 5/4。

七、弦长计算例题

题：双曲线 x² − y² = 2，右焦点为 (2, 0)。过右焦点作直线 y = k(x − 2)，弦 MN 中点横坐标为 4，求 k 与弦长。

联立：

x² − k²(x − 2)² − 2 = 0
(1 − k²)x² + 4k²x − (4k² + 2) = 0

由中点横坐标 4 得 x₁ + x₂ = 8。韦达定理：

x₁ + x₂ = −4k²/(1 − k²) = 8   ⇒   k² = 2   ⇒   k = √2
x₁x₂     = −(4k² + 2)/(1 − k²) = −10/(−1) = 10

弦长：

|MN| = √(1 + k²) · √[(x₁ + x₂)² − 4x₁x₂]
      = √(1 + 2) · √(64 − 40)
      = √3 · √24 = √72 = 6√2

八、作业与答案

昨日作业答案：

动点 P 的轨迹 —— D；
与共焦点的双曲线 —— D；
动点圆心轨迹 —— A（双曲线的一支）；
多选题（曲线 C 的判断）—— BCD；
能力提升：a 的取值范围 —— k ∈ (−2, 2) ∪ (5, +∞)（即 k > 5 或 −2 < k < 2）；
△MF₁F₂ 面积为 20 的判断题 —— B；
该双曲线方程 —— A（形式存疑，见注意点）。

今日作业：双曲线几何性质（A、B 组共 9 题）。

本讲修正/注意点

术语/符号统一：本讲无"普及/补集"相关出现（仅沿用项目标准，未实际改动）。集合符号 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 本讲未涉及，备用。
"渐近线"误转：ASR 将"渐近线"多次转成"渐进线/间接线/鉴定线/界定线/相间定线"，全文统一还原为"渐近线"。
"包双曲线"→"双曲线"：口语"包双曲线"实为"双曲线"。
"右交点"→"右焦点"：多处"右交点"实为右焦点 F(c, 0)；"两个交点"在描述实轴/焦点语境时按语义还原为"两个焦点/顶点"。
"data"→"Δ（判别式）"：ASR 英文化，还原为判别式符号 Δ。
变量名误转：s1/s2/sxx2/x12/F s2 等实为 x₁/x₂/x₁x₂，已还原上下标。
"伟大定律"→"韦达定理"：口误/ASR 误转，还原。
"即学即练六"误转：ASR 作"集学吉林六/几06/即学吉练六"，统一为"即学即练六"。
"辨识一"→"变式一"：ASR 误转，还原。
"圆点"→"原点"：口误，还原为原点。
"F 介于一个范围之外"→|x| ≥ a：据双曲线范围还原（x 落在 ±a 之外）。
"GOG/3w"→"GeoGebra（几何绘图软件）"：软件名误转。
"打包"技巧：保留原意，整理为"整体代换、不展开括号"的运算技巧说明。
单调区间规则：本讲无单调区间内容，规则备用（注：单调区间将以"和"连接而非 ∪）。
存疑待核——双曲线方程形式：昨日作业第 7 题答案 "九分之二平方减 Y 平方等于一" 转写存疑，疑为 x²/9 − y² = 1 或 y²/9 − x² = 1，请核对原卷。
存疑待核——离心率边界：变式1 中 ASR 口述"二到正无穷"，据推导 c/2 > a 取严格大于，定为 (2, +∞)；若原题含边界则为 [2, +∞)，待核。
存疑待核——"通镜"：讲义中段口述"通镜"（数值结果为 6），含义不明，疑为口误，未纳入正文。