第7讲 大纲 · 双曲线的几何性质

【概念】

• 双曲线标准方程 x²/a² − y²/b² = 1（焦点在 x 轴，a,b > 0）
• 实轴（长 2a）、虚轴（长 2b）
• 顶点、对称性（x 轴 / y 轴 / 原点）
• 渐近线（双曲线特有）
• 等轴双曲线（a = b）
• 共轭双曲线（x²、y² 项互换，实虚轴互易）
• 焦点到渐近线距离（定值 b）

【方法】

• 渐近线求法：标准方程右侧 1 改 0
• 直线与双曲线位置判定：二次项系数是否为 0 + 判别式 Δ
• 特殊情形识别：平行渐近线 → 仅一交点（≠相切）
• 弦长计算：联立 + 韦达定理 + 弦长公式
• 中点弦：点差法（双曲线符号与椭圆相反）
• "打包"技巧：整体代换、不展开括号，快速算 Δ
• 离心率范围：几何条件 → 代数不等式 → 集合/区间表示

【公式】

• 范围：|x| ≥ a，y ∈ R
• 离心率：e = c/a，e² = 1 + b²/a²，双曲线 e ∈ (1, +∞)
• 渐近线：y = ±(b/a)x
• 等轴双曲线：a = b，e = √2，渐近线 y = ±x
• 焦点到渐近线距离：d = b
• 弦长：|AB| = √(1+k²)·√[(x₁+x₂)² − 4x₁x₂]
• 点差法（双曲线）：k · k_OM = b²/a²

【例题结论】

• 即学即练六：过 (1,1) 与 x²−y²/4 = 1 仅一公共点的直线： y = 2x − 1、y = −2x + 3（平行渐近线）、y = (5/2)x − 3/2（切线）
• 离心率变式1（右支存在到中心与右焦点等距的相异两点）：e ∈ (2, +∞)
• 离心率变式2（半径为 a 的圆 + △CBA 约束）：e ∈ (1, 2√10/5)
• 离心率变式3（点到渐近线距离 9/5，3-4-5）：e = 5/4
• 弦长例（x²−y² = 2，过右焦点，中点横坐标 4）：k = √2，弦长 |MN| = 6√2
• 昨日作业：轨迹 D、共焦点 D、圆心轨迹 A、多选 BCD、 k ∈ (−2, 2) ∪ (5, +∞)、面积题 B、方程题 A（存疑）

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