第10讲 · 数列的概念、分类与通项公式

规范说明：本讲前半段为圆锥曲线综合小测讲评，后半段正式进入数列（数列的概念、分类、表示法、前 n 项和与通项的关系）。按课程统一规范，凡涉及取值范围，一律用区间或集合 {x | …} 形式回答，绝不可只写 x > a 这类不等式；以下口述中涉及参数范围处均已按此规矩改写。

一、课前小测讲评（圆锥曲线综合）

本讲开始时进行了圆锥曲线综合小测，下面给出讲评时明确的部分答案。小测整体偏易，但其中一道参数范围题"坑"较多，意在让大家加深印象。

充分不必要条件类题目：答案为 4√5。
第 8 题答案选 A；第 9 题答案为 4/3。
双曲线题注意：有"小于零的限制"，且"忘记平方"是常见失误。
圆的方程（ASR 记作"三和 Y 方等于 4x"）：x² + y² = 4x。

小测参数范围题（易错）：某题参数取值集合为 { -√3, -√3/3, √3/3, √3 }（注意"零不需要去掉"，即 0 属于可取范围）；具体区间以原题为准（ASR 仅录得结论，存疑待核，见文末注意点）。

作业（圆锥曲线）讲评要点：

标准方程选 B：y² = 4ax。
M 点坐标为 (-9, 6) 或 (-9, -6)。
点到焦点距离的最小值为 1/48。
与定圆相切的动圆，其圆心轨迹是抛物线。
焦点坐标为 (1, 0)，准线方程为 x = -1。
某线段长（PF 或 TF）的值为 8。
已知 F 点，求中点到准线的距离，选 B，答案为 24。
求 PB + PF 的最小值：第一问 √(PA) + d 的最小值为 √5；PB + PF 的最小值为 4。
向量题：三向量之和为零向量时，‖FA + FB + FC‖ = 6。方法：由 FA + FB + FC = 0 得 x 方向分量 (x₁-1) + (x₂-1) + (x₃-1) = 0，即 x₁ + x₂ + x₃ = 3；而三段长度分别为 x₁ + p/2、x₂ + p/2、x₃ + p/2，这里 p = 2（即每项多加 1），总和为 3 + 3 = 6。
到焦点与到准线距离：D₁ + D₂ 的最小值为 3。

注：上述圆锥曲线答案多为讲评口述结论，部分题干 ASR 未完整记录，解题过程以讲义为准，存疑项见文末注意点。

二、数列的概念（数列是一种特殊的函数）

函数可以定义在 R 上；数列相当于定义在正整数集（或其有限子集）上的一列有序的数。
按确定顺序排列起来，其中每一个数都叫做这个数列的项；第一项叫 a₁，依次记为 a₁, a₂, …, aₙ。
数列通常用记号 {aₙ} 表达（注意这是带有序性的"数列"记号，与无序的"集合"不同）。

三个要点：

数列中的项有序（顺序不同则不是同一数列）。
数列中的数可以重复出现。
数列是一种特殊的函数，定义域是正整数集或其有限子集。

正误判断题（课堂例题）：

A：错误。
B：数列 -1, 0, 1 与 1, 0, -1 不是同一个数列（顺序不同）。
C：能否表示为 {1, 3, 5, 7}？不可以。因为 {1, 3, 5, 7} 表示集合（无序），而数列是有序的。
D：25, 25, 25, 25, … 是无穷数列（项数无限）。

三、数列的分类

分类	含义
有穷数列 / 无穷数列	项数有限 / 项数无限
递增数列 / 递减数列	逐项增大 / 逐项减小
常数列	每一项都相等
周期数列	如 `1, 2, 3, 1, 2, 3, …` 反复出现
有界数列 / 无界数列	最大项、最小项都有限（有界）；可趋于 `±∞`（无界）
摆动数列	非单调，来回震荡（如正负交替）

课堂判断题示例：①递增数列；②递增数列；③递减数列；④摆动数列；⑤摆动数列；⑥常数列。

四、数列的表示方法

列表法（表格法）：列项与对应值，意义不大。
图像法：较为抽象，较少单独使用。
通项公式法：直接给出 aₙ 关于 n 的解析式（通项即"解析式"），由此可求任意项。
递推公式法：给出后一项与前一项（或前几项）的关系。例如"从第二项起，每一项都是前一项的 2 倍"，或"每一项是前一项加 5"。递推关系可由相邻项互推。

五、通项公式的求法（典型例子）

例1 摆动数列（正负交替）： 用 (-1)ⁿ 实现来回摆动。

数列 2, 0, 2, 0, …：aₙ = 1 + (-1)ⁿ⁻¹（奇数项为 2，偶数项为 0）。

例2 交替 1, 0, 1, 0, …： aₙ = ½ + ½·(-1)ⁿ⁻¹ = [1 + (-1)ⁿ⁻¹] / 2。

更一般地，交替 a, b, a, b, …：

aₙ = (a + b)/2 + (a - b)/2 · (-1)ⁿ⁻¹

（先取 a、b 的中间值，再加 / 减差值的一半，即可在奇偶项之间摆动。）

例3 数列 9, 99, 999, …： 利用与 10, 100, 1000 的关系：

aₙ = 10ⁿ - 1

例4 数列 4, 44, 444, …： 由例3 推广：

aₙ = (4/9)(10ⁿ - 1)

（即把 9, 99, 999, … 整体乘 4/9。）

例5（例题 2-3）： 给出若干数列写通项，如 3, 5, 7, … → aₙ = 2n + 1；并判断某数是否为数列中的项、从第几项起全为负、从第几项起大于 10 等。

六、前 n 项和 `Sₙ` 与通项 `aₙ` 的关系

前 n 项和记为 Sₙ（sum），即 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ。
通项与前 n 项和构成"分段"关系：

aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2），a₁ = S₁

约定 S₀ = 0（前 0 项的和为 0）。严格写法虽不引入 A₀，但 S₀ = 0 在后续许多题目中很有用，先记在心里。

例题： 已知数列前 n 项和 Sₙ（具体表达式见板面，ASR 未完整记录），求 a₅ - a₁。

方法：a₅ - a₁ = (S₅ - S₄) - S₁。
结论：a₅ - a₁ = 7。（存疑待核：Sₙ 表达式 ASR 未录全，仅保留结论与方法。）

七、数列的最大项问题（函数思想 + 基本不等式）

例题： 求数列 aₙ = 1 / (n + 6/n) 的最大项。

要使 aₙ 最大，需分母 n + 6/n 最小。
由均值不等式，n + 6/n ≥ 2√6，等号在 n = √6 时取得；但 n 必须为正整数，而 √6 ∈ (2, 3)。
比较 n = 2 与 n = 3：n = 2 时分母 = 2 + 3 = 5；n = 3 时分母 = 3 + 2 = 5。两者相等且最小。
故最大项 a₂ = a₃ = 1/5，答案选 B。

八、数列的递推与周期性（例题 2-3 续）

由递推公式可逐项计算：如某数列 aₙ = (n - 6)(n - 1)，则从第 7 项起各项为正（n ≥ 7 时两因子同正）。
又如奇数项构成规律：a₁ = 1, a₃ = 2, a₅ = 3, …，即 a_{2k-1} = k；故 a_{2023}：令 2k - 1 = 2023 ⇒ k = 1012，得 a_{2023} = 1012。
递推计算时，可能发现项重复出现（呈现周期性）。例如由 a₂ = 1/3, a₃ = -1/2 可递推得 a₄ = -3/2，继续算下去会出现重复。（具体初值与递推式 ASR 未录全，存疑待核。）
例题 2-3 中某数列第 14 项：a₁₄ = -27/28（具体递推式见讲义，存疑待核）。

九、作业布置

圆锥曲线部分：完成 A 组、B 组（C 组仅一题）；例题 2-3 之前的变式题（含写通项公式）需动笔。
数列部分：例题 2-3 的第 3、4 小题写通项公式；思考 4, 4, 4, … 型数列通项（即 aₙ = (4/9)(10ⁿ - 1)）。

本讲修正/注意点

符号还原：ASR"三和 Y 方等于 4x" → 圆方程 x² + y² = 4x。
符号还原：ASR"Y 方等于 4ax" → 抛物线标准方程 y² = 4ax。
符号还原：ASR"三逗二" → 坐标 (3, 2)；"一零" → 焦点 (1, 0)；"X0-1" → 准线 x = -1。
术语 / 符号存疑：第 35–37 行口述"选 a 的话不都成椭圆了 / 成火源了"，实为判断曲线类型（椭圆或双曲线）的易错点；具体方程 ASR 未录全，存疑待核。
取值范围规范：小测参数范围题取值集合记作 { -√3, -√3/3, √3/3, √3 }（0 属于可取范围），已用集合形式，符合规范；具体区间 ASR 仅录结论，以原题为准（存疑待核）。
存疑待核：例题 a₅ - a₁ = 7 对应的 Sₙ 表达式 ASR 未记录，仅保留结论与方法。
存疑待核：第八节递推例的初值与递推式（a₂ = 1/3, a₃ = -1/2, a₄ = -3/2 等）ASR 未录全，保留结论"递推可得重复项 / 周期性"。
存疑待核：例题 2-3 中 a₁₄ = -27/28 对应的具体数列 / 递推式未录全。
逻辑还原：第 9 题向量模长和推导中，口述"3 个 1/2"实为"3 个 1"（即 p = 2，每项多加 1），总和 3 + 3 = 6；已按正确逻辑还原并改写为 p = 2。
口语剥离：已删除课前 / 课间关于观影（7 月 26 日电影、不对号入座）、点名签到、班级时间偏好、手机闲聊，以及 ASR 英文乱码（You. / The. / So. / Doing. 等）与口头禅（然后 / 就是 / OK / 对 / 这个 / 嗯 / 那个 / 的话）。
术语核对：本讲口述未出现"普及"一词，故无需替换为"补集"；未涉及 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ C_U A 等集合符号运算。