第10讲 大纲 · 数列的概念、分类与通项公式

【概念】

• 数列：按确定顺序排列的一列数，是一种特殊的函数
• 定义域：正整数集 N*（或其有限子集）
• 项：a₁, a₂, …, aₙ；第一项叫 a₁
• 三个特性：有序性、元素可重复、本质是特殊函数
• 前 n 项和 Sₙ：Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ；约定 S₀ = 0

【方法】

• 数列分类判断（有穷 / 无穷、递增 / 递减、常数列、周期数列、有界 / 无界、摆动数列）
• 四种表示法：列表法、图像法、通项公式法、递推公式法
• 用 (-1)ⁿ 类构造摆动（正负交替）数列的通项
• 用"中间值 ± 差值一半"表示 a, b, a, b, … 交替数列
• 利用 10ⁿ - 1 表示 9, 99, 999, … 型数列
• 由 Sₙ 求 aₙ：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2），a₁ = S₁
• 最大项求法：函数思想 + 基本不等式 + 邻近整数检验
• 递推求项、判断周期性（项重复出现）
• 圆锥曲线小测讲评（圆、抛物线、最值、向量）

【公式】

• 交替 a, b, a, b, …：aₙ = (a + b)/2 + (a - b)/2 · (-1)ⁿ⁻¹
• 2, 0, 2, 0, …：aₙ = 1 + (-1)ⁿ⁻¹
• 1, 0, 1, 0, …：aₙ = [1 + (-1)ⁿ⁻¹] / 2
• 9, 99, 999, …：aₙ = 10ⁿ - 1
• 4, 44, 444, …：aₙ = (4/9)(10ⁿ - 1)
• 3, 5, 7, …：aₙ = 2n + 1
• 最大项题：aₙ = 1/(n + 6/n)，最大项 = 1/5（n = 2 或 3）
• 奇偶项：a_{2k-1} = k ⇒ a_{2023} = 1012
• 分段关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n ≥ 2）；a₁ = S₁；S₀ = 0
• 递推例：aₙ = (n - 6)(n - 1)，从第 7 项起为正

【例题结论】

• {1, 3, 5, 7} 表示集合而非数列（数列具有序性）
• 25, 25, 25, … 是无穷数列
• aₙ = (n - 6)(n - 1)：从第 7 项起各项为正
• 最大项例题选 B（最大项 1/5）
• a₅ - a₁ = 7（已知 Sₙ，方法为 (S₅ - S₄) - S₁）
• 圆锥曲线小测讲评结论（见讲义，多存疑）：
  • 圆：x² + y² = 4x
  • 抛物线：y² = 4ax；焦点 (1, 0)，准线 x = -1
  • 向量模长和：‖FA + FB + FC‖ = 6（p = 2）
  • 最值：PB + PF 最小值 = 4；√(PA) + d 最小值 = √5；D₁ + D₂ 最小值 = 3

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