第二十五讲三角恒等变换（续）· 三角函数应用与图像 · 辅助角公式与结课

来源：合并 20260811183002-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt（前半）与 -文本-2.txt（后半）课时：2026 暑高一数学 X 班（序班），第 25 讲（全册最后一讲）说明：已将同一天两节转录合并为完整一课；剔除课间游戏 / 盗墓闲谈（约 00:54–01:04）、点名与转录乱码；修正口误；按"回顾 ω 范围 → 图像/应用 → 恒等变换综合 → 给值求角方法 → 辅助角公式 → 结课"重排。

一、回顾：ω 的取值范围与最值问题（"切一刀"法）

这类题本质：A·sin(ωx+φ) 在给定区间上的 0 点个数、对称轴条数、实根个数。

方法：令整体角 T = ωx+φ，转化为 T 落在哪一段；数"第 8 根对称轴要进去、第 9 根进不去"等，从而框出 ω 的范围。
这是高一下学期数学里最难的一块，此前已练过 2–3 个方法，本讲不再展开，直接进入应用与综合。

二、三角函数应用与图像问题（13.13 / 摩天轮 / 82 页）

应用题（如摩天轮）：在圆周上运动，求某时刻的高度等，本质仍是对 y = A·sin(ωx+φ)+b 的建模。
图像题（例14、16、18、20，82 页）：数 0 点、对称轴、实根个数，用"切一刀"法。

例14（化简求值）

已知 cosα − sinα = −2/3，求 (cos²α − sin²α) / [ (√2/2)(cosα+sinα) ]。

分子 = (cosα−sinα)(cosα+sinα)，与分母的 (√2/2)(cosα+sinα) 约去；
原式 = √2 (cosα−sinα) = √2 × (−2/3) = −2√2/3。

例16（综合：和差 + 二倍）

已知 α = β + 2π/3，且 cosα + cosβ = 1/3，求 cos(α+β)。

cosα = cos(β+2π/3) = cosβ·cos(2π/3) − sinβ·sin(2π/3) = −(1/2)cosβ − (√3/2)sinβ；
与 cosβ 相加：cosα + cosβ = (1/2)cosβ − (√3/2)sinβ = 1/3；
注意 (1/2)cosβ − (√3/2)sinβ = cos(π/3)cosβ − sin(π/3)sinβ = cos(β+π/3)，故 cos(β+π/3) = 1/3；
α+β = 2β + 2π/3 = 2(β+π/3)，所以 cos(α+β) = cos[2(β+π/3)] = 2cos²(β+π/3) − 1 = 2·(1/9) − 1 = −7/9。 结论：cos(α+β) = −7/9，选 B。

本讲修正：原转写口播把 (1/2)cosβ+(√3/2)sinβ 说成 sin(π/6−β)，实际应为 cos(β+π/3)；修正后推导更干净，最终选 B 不变。

三、恒等变换综合（给值求值 / 给值求角）

1. 拆角法

把未知角拆成已知角的组合。例如： α = (α+β) − β，故 cosα = cos[(α+β)−β] = cos(α+β)cosβ + sin(α+β)sinβ。

2. 例题集合（例18 / 20 / 变式22–28 / 31）

例23：展开再合并，化为 sin(α+π/6) 等单角形式。
例24、25：注意开方 / 转 cos 时的正负号——由角所在象限决定（如 4/π−α 的范围定符号）。
例26、27、28：利用互补角 sin(π−t) = sin t、tan(π−t) = −tan t。
例31（给值求角 · 韦达法）：关于 tan 的二次方程，根之和 = −3√3、根之积 = 4；两根同号且和为负 → 两负角 → 选 B。
- 也可算 tan(α+β) = (t₁+t₂)/(1−t₁t₂) 辅助判断符号。

套路总结：这一片题"给值求值""给值求角""给角求值"三类，核心都是凑角——和学均值不等式的"凑"是同一种直觉。

四、给值求角的方法

1. 代数法（正式考试用）

求出该角的某个三角函数值，再结合角的范围锁定唯一角。

2. "量角器法"（趣味辅助，建立"角感"）

在格子纸上按斜率画角，直接量出角度或判断范围：

例：tanα=1/3、tanβ=1/7，画单位格得 α、β，量出 2α−β 的范围（邪修做法，仅供理解/检验）。
例33 / 35：sinα=√5/5、sinβ=√10/10，二者互余（1:2 与 1:3 直角三角形的两个小角之和为 45°），画图一目了然。

强调：这是帮助建立角感的趣味方法，正式考试仍需代数法。

五、辅助角公式（本讲最后知识点）

a·sin x + b·cos x = √(a²+b²) · sin(x + φ)，其中 cosφ = a/√(a²+b²)，sinφ = b/√(a²+b²)。

例：√3/2·sin x + 1/2·cos x = sin(x+60°)（因为 √3/2 = cos60°、1/2 = sin60°）。
通用步骤：提系数 √(a²+b²) 到前面，使括号内变为"cosφ·sin x + sinφ·cos x" = sin(x+φ)。
用途：把三角函数式化为单个正弦，便于求最值、周期、图像。

六、期末回顾与结课

三角函数"深水区"就在这片恒等变形里；诱导公式、和差倍角都可统一用 sin(α+β) 直接展开，不一定要死记"奇变偶不变"。
后半段还有半角公式、三角恒等式证明、辅助角等综合内容（课本约 55–67 页），难度偏大，有余力再钻。
作业：必刷题从第四章开始，易错与基础部分基本已布置；对数、指数函数部分薄弱可回看录播。
假期提醒：开学前约 20 天含军训（约 8/17–8/24），建议先玩再收心；开学第一次月考卷仍可能不及格（菜就多练）；期末卷有"仅两个 0 点"等基础题。
结语：祝大家暑假快乐！

本讲修正 / 注意点

例16 中，由 (1/2)cosβ − (√3/2)sinβ = 1/3 应得 cos(β+π/3) = 1/3（非口播的 sin(π/6−β)），依此推出 cos(α+β) = −7/9、选 B；符号路径以代数法为准。
例24/25 开方正负、例31 韦达判号已按标准方法给出；部分中间系数 ASR 错位，具体数字以课本对应页为准。
约 00:54–01:04 为课间"盗墓 / 游戏"闲谈，已全部剔除。
"量角器法"为趣味辅助理解手段，考试以代数法为准。