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第 22 次课 · 原始课堂资料

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诱导公式、三角函数图像与不等式

知识点大纲课堂清洗讲稿

第二十二讲 诱导公式巩固 · 三角函数图像 · 读图解三角不等式

来源：20260808182827-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：高一数学 X 班（序班），第 22 讲（续三角函数） 说明：已剔除课前/课间闲聊（AI 聊天、游戏、零食、微信、宠物等）、点名与 ASR 乱码；修正口语口误与符号误转；按内容逻辑重排分段。承接 class1–15 及"奇变偶不变，符号看象限"。

一、承上启下：已学板块与诱导公式口诀

本节课之前已经学完四个板块：

  1. 任意角与弧度制；
  2. 三角函数基本概念；
  3. 同角三角函数基本关系；
  4. 诱导公式。

核心口诀：奇变偶不变，符号看象限。

老师强调：从现在起，诱导公式一律"默认你会、直接用"，不再临时推导。所有关于"锐角与否"的顾虑都可以丢掉——公式本身恒成立。

二、诱导公式化简求值

例一（逐项诱导求值）

用"奇变偶不变，符号看象限"化简：

  • tan⁡11π3=tan⁡(11π3−3π)=tan⁡2π3=−3\tan\dfrac{11\pi}{3}=\tan\left(\dfrac{11\pi}{3}-3\pi\right)=\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt3
  • cos⁡13π4=cos⁡(13π4−4π)=cos⁡(−3π4)=−22\cos\dfrac{13\pi}{4}=\cos\left(\dfrac{13\pi}{4}-4\pi\right)=\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}
  • tan⁡31π4=tan⁡(31π4−8π)=tan⁡(−π4)=−1\tan\dfrac{31\pi}{4}=\tan\left(\dfrac{31\pi}{4}-8\pi\right)=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1

方法：先把角加减 2π2\pi（或 π\pi）的整数倍，"转"回 [0,2π)[0,2\pi) 内再判断。

例二（同角齐次式 · 题型四）

已知 tan⁡α=43\tan\alpha=\dfrac43，求 sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α2cos⁡2α−sin⁡2α\dfrac{\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}。

  • 分子分母同除以 cos⁡2α\cos^2\alpha，化为关于 tan⁡α\tan\alpha 的式子： tan⁡2α+2tan⁡α2−tan⁡2α\displaystyle \frac{\tan^2\alpha+2\tan\alpha}{2-\tan^2\alpha}
  • 代入 tan⁡α=43\tan\alpha=\dfrac43： 169+832−169=40929=20\displaystyle \frac{\frac{16}{9}+\frac83}{2-\frac{16}{9}} =\frac{\frac{40}{9}}{\frac{2}{9}}=20
  • 结论：值为 2020。

要点：凡"正弦、余弦二次齐次式"，一律除以 cos⁡2α\cos^2\alpha 转成 tan⁡α\tan\alpha 的代数式。

例三（化简 · 例九）

化简 f(α)f(\alpha)，用诱导公式逐项处理：

  • cos⁡α\cos\alpha 不变；
  • tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha；
  • cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha；

约掉公因子后得 f(α)=−sin⁡αf(\alpha)=-\sin\alpha。

补充（恒成立结论）：sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha，由"互余"得到，与 α\alpha 在第几象限无关。例九第二问已知 cos⁡α=−55\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt5}{5} 时，这一结论仍直接可用。

例四（给值求值 + 换元法）

(1) 直接求值：已知 cos⁡α=−13\cos\alpha=-\dfrac13，且 sin⁡α>0\sin\alpha>0（cos⁡\cos 负、sin⁡\sin 正，故 α\alpha 在第二象限）。

  • sin⁡α=1−cos⁡2α=1−19=223\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac19}=\dfrac{2\sqrt2}{3}
  • tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=22/3−1/3=−22\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{2\sqrt2/3}{-1/3}=-2\sqrt2

(2) 换元法（关键方法）：凡是括号里套复杂角的式子，把"整个括号"令成一个新变量 tt（或 TT、SS），再看它与目标角相差多少，用诱导公式衔接。

老师原话："没有换元解决不了的问题。" 例十二~例十四全部是先把角整体换元，再指哪打哪用诱导公式。

  • 如令整体为 tt，某式化为 2sin⁡t2\sin t，若已知该式 =−43=-\dfrac43，则 sin⁡t=−23\sin t=-\dfrac23；
  • 再如令 S=π6−axS=\dfrac{\pi}{6}-a x，把它整体代入，可快速得到与 sin⁡S\sin S、cos⁡S\cos S 相关的数值（如等于 35\dfrac35）。

三、三角函数图像：单位圆来源与五点作图法

1. 图像从哪来

sin⁡x\sin x 的值 = 单位圆 x2+y2=1x^2+y^2=1 上动点从 (1,0)(1,0) 出发时的 yy 坐标。动点先升到 11、回到 00、降到 −1-1、再回到 00，如此往复 → 得到波浪形，周期 2π2\pi。

2. 五点作图法

画一段 y=sin⁡xy=\sin x（x∈[0,2π]x\in[0,2\pi]）只需找准 5 个关键点：

xx 00 π/2\pi/2 π\pi 3π/23\pi/2 2π2\pi
y=sin⁡xy=\sin x 00 11 00 −1-1 00

把这 5 点连成光滑曲线即得一个完整周期。

3. 例：画 y=sin⁡x2y=\sin\dfrac{x}{2}

  • x=0⇒sin⁡0=0x=0 \Rightarrow \sin0=0
  • x=π⇒sin⁡π2=1x=\pi \Rightarrow \sin\dfrac{\pi}{2}=1
  • x=2π⇒sin⁡π=0x=2\pi \Rightarrow \sin\pi=0
  • x=3π⇒sin⁡3π2=−1x=3\pi \Rightarrow \sin\dfrac{3\pi}{2}=-1
  • x=4π⇒sin⁡2π=0x=4\pi \Rightarrow \sin2\pi=0

周期变为 4π4\pi，图像被"拉长"。

4. 例：画 y=cos⁡xy=\cos x 与 y=−cos⁡xy=-\cos x

cos⁡x\cos x 五点：(0,1),(π2,0),(π,−1),(3π2,0),(2π,1)(0,1),\left(\dfrac{\pi}{2},0\right),(\pi,-1),\left(\dfrac{3\pi}{2},0\right),(2\pi,1)。

y=−cos⁡xy=-\cos x 是把 cos⁡x\cos x 关于 xx 轴翻转（原 (0,1)(0,1) 变 (0,−1)(0,-1)，原 (π,−1)(\pi,-1) 变 (π,1)(\pi,1)）。

5. 例：画 y=2sin⁡(2x−π4)y=\sqrt2\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)，x∈[π8,9π8]x\in\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{9\pi}{8}\right]

  • 令整体 T=2x−π4T=2x-\dfrac{\pi}{4}。当 x∈[π8,9π8]x\in\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{9\pi}{8}\right] 时， 2x∈[π4,9π4]2x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{9\pi}{4}\right]，故 T∈[0,2π]T\in[0,2\pi]。
  • 用五点法列出关键点：
xx π/8\pi/8 3π/83\pi/8 5π/85\pi/8 7π/87\pi/8 9π/89\pi/8
T=2x−π/4T=2x-\pi/4 00 π/2\pi/2 π\pi 3π/23\pi/2 2π2\pi
y=2sin⁡Ty=\sqrt2\sin T 00 2\sqrt2 00 −2-\sqrt2 00
  • 即在 [π8,9π8]\left[\dfrac{\pi}{8},\dfrac{9\pi}{8}\right] 上走完一个完整周期。

方法模板：遇到 y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi)，先令整体 ωx+φ\omega x+\varphi 求出范围，再做五点作图。

四、含绝对值 / 分段函数的图像（例二、例三）

例：y=2∣sin⁡x∣+sin⁡xy=2|\sin x|+\sin x。

  • 当 x∈[0,π]x\in[0,\pi] 时，sin⁡x≥0\sin x\ge0，∣sin⁡x∣=sin⁡x|\sin x|=\sin x，故 y=2sin⁡x+sin⁡x=3sin⁡xy=2\sin x+\sin x=3\sin x，峰值点 (π2,3)\left(\dfrac{\pi}{2},3\right)；
  • 当 x∈[π,2π]x\in[\pi,2\pi] 时，sin⁡x≤0\sin x\le0，∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x|=-\sin x，故 y=−2sin⁡x+sin⁡x=−sin⁡xy=-2\sin x+\sin x=-\sin x，峰值点 (3π2,1)\left(\dfrac{3\pi}{2},1\right)。

即"右边高（高 3 个单位）、左边矮（高 1 个单位）"。绝对值类图像：把 sin⁡x\sin x 下方的波"翻上去"即得 ∣sin⁡x∣|\sin x|；sin⁡∣x∣\sin|x| 则是把右半边"翻到左边"。

五、读图法解三角函数不等式

例四 / 变式一：取大函数 y=max⁡{sin⁡x,cos⁡x}y=\max\{\sin x,\cos x\}

问：取大之后，何时为负？

  • 取大函数为负   ⟺  \iff sin⁡x\sin x 与 cos⁡x\cos x 同时为负   ⟺  \iff 第三象限；
  • 在一个周期内即 x∈(π,3π2)x\in(\pi,\frac{3\pi}{2})，再补上周期 2kπ2k\pi。

口语记忆："俩人都下水（都为负）时才为负；只要有一个为正，正的就占优。"

例：2cos⁡x>−12\cos x>-1（即 cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12）

  • 画 y=cos⁡xy=\cos x 图像，作水平线 y=−12y=-\dfrac12；
  • cos⁡2π3=−12\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12，cos⁡(−2π3)=−12\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac12；
  • 在一个周期内满足 cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12 的是 (−2π3,2π3)\left(-\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)；
  • 加周期得解集： x∈{x  |  −2π3+2kπ<x<2π3+2kπ, k∈Z}\displaystyle x\in\left\{x\;\middle|\;-\frac{2\pi}{3}+2k\pi<x<\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}
  • 选 B。

变式二：解 −32<sin⁡x<32-\dfrac{\sqrt3}{2}<\sin x<\dfrac{\sqrt3}{2}

  • 作水平线 y=32y=\dfrac{\sqrt3}{2} 与 y=−32y=-\dfrac{\sqrt3}{2}；
  • 一个周期内满足的区间：(−5π6,−π3)\left(-\dfrac{5\pi}{6},-\dfrac{\pi}{3}\right) 与 (π3,5π6)\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right)；
  • 加周期得解集： x∈(2kπ−5π6, 2kπ−π3)∪(2kπ+π3, 2kπ+5π6), k∈Z\displaystyle x\in\left(2k\pi-\frac{5\pi}{6},\,2k\pi-\frac{\pi}{3}\right)\cup\left(2k\pi+\frac{\pi}{3},\,2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right),\ k\in\mathbb Z

读法三句话：①作直线 y=ay=a；②画 y=sin⁡xy=\sin x（或 cos⁡x\cos x）图像；③定出对应 xx 范围，看图说话。

例五、例六：图像交点个数

  • y=sin⁡xy=\sin x 与水平线 y=−14y=-\dfrac14 有 2 个交点（平移法：保留一条图像不动，动坐标轴）；
  • 另一问有 3 个交点（利用 π≈3.14\pi\approx3.14，在 [0,4][0,4] 附近左右对称分布）。

变十一：由交点个数求参数

y=1−2sin⁡xy=1-2\sin x，在 x∈[−2π3,5π6]x\in\left[-\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right] 上，问水平线 y=ay=a 与图像有 两个交点 时 aa 的范围。

  • 五点作图：x=0→y=1x=0\to y=1；x=π/2→y=−1x=\pi/2\to y=-1；x=π→y=1x=\pi\to y=1；x=3π/2→y=3x=3\pi/2\to y=3；
  • 区间端点：x=−2π3⇒y=1+3x=-\dfrac{2\pi}{3}\Rightarrow y=1+\sqrt3；x=5π6⇒y=0x=\dfrac{5\pi}{6}\Rightarrow y=0；
  • 读图：使水平线穿过"两个交点段"的 aa 落在两段——下凹段 (−1,0)(-1,0) 与上凸段 (1+3,3)(1+\sqrt3,3)。
  • 结论： a∈(−1,0)∪(1+3, 3)\displaystyle a\in(-1,0)\cup(1+\sqrt3,\,3)

六、作业

  • 三角函数图像部分：107 页第 1–9 题。
  • 例二、例三（图像）必须自己动手画熟练；例四、变式一、变式二、例五、例六、变十一 均需独立复算。

本讲修正 / 注意点

  1. "诱导公式"多次被 ASR 误转（如"供应不足""诱导"），已统一为诱导公式。
  2. 读图解不等式一处原转写"2 倍的 cos⁡x\cos x 大于 1"，实为 2cos⁡x>−12\cos x>-1（即 cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12）；原稿把 −1-1 误听为 11。按 cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12 解得 (−2π3+2kπ,2π3+2kπ)\left(-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\right)，与老师所给 B 选项一致。
  3. "派到 2/22/2 这里" 实为 π\pi 到 3π2\dfrac{3\pi}{2}（第三象限）；ASR 把"3/23/2"转成"2/22/2"，已修正。
  4. 符号/函数名还原：ASR 将 tan⁡/sin⁡/cos⁡\tan/\sin/\cos 转成 "ten / sine / cosine" 等，已还原为标准符号；角标（如 11π3\dfrac{11\pi}{3}、13π4\dfrac{13\pi}{4}）按数学规范统一。
  5. 取值范围/解集一律用区间集合形式并注明 k∈Zk\in\mathbb Z（符合老师强调的"取值范围必须集合形式"规范）；单调区间表达遵循"用'和'不用 ∪\cup"约定（本讲解集用 ∪\cup 正确）。
  6. 变十一 "1-2 倍 sin X" 还原为 y=1−2sin⁡xy=1-2\sin x。
  7. 48–49 页首页复合算式口播破碎，仅保留可确认的分步求值与结论，复合原式请以课堂板书核对。