知知数 · 高中数学
第 22 次课 · 原始课堂资料

完整知识点大纲

诱导公式、三角函数图像与不等式

知识点大纲课堂清洗讲稿

第二十二讲 知识大纲：诱导公式巩固 · 三角函数图像 · 读图解三角不等式

配套清洗稿：clean_transcript_class22.md ｜ 课时：高一数学 X 班 第 22 讲（续三角函数）

一、已学板块回顾

  • 任意角与弧度制 → 三角函数基本概念 → 同角三角函数基本关系 → 诱导公式。
  • 核心口诀：奇变偶不变，符号看象限。
  • 约定：诱导公式"默认全会、直接用"，不再临时推导；与角是否锐角无关。

二、诱导公式化简求值

例一：逐项诱导

  • tan⁡11π3=tan⁡2π3=−3\tan\dfrac{11\pi}{3}=\tan\dfrac{2\pi}{3}=-\sqrt3
  • cos⁡13π4=cos⁡(−3π4)=−22\cos\dfrac{13\pi}{4}=\cos\left(-\dfrac{3\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}
  • tan⁡31π4=tan⁡(−π4)=−1\tan\dfrac{31\pi}{4}=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1
  • 方法：先把角加减 2π2\pi（或 π\pi）整数倍"转"回 [0,2π)[0,2\pi) 内。

例二：同角齐次式

  • 已知 tan⁡α=43\tan\alpha=\dfrac43，求 sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α2cos⁡2α−sin⁡2α\dfrac{\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}。
  • 同除 cos⁡2α→tan⁡2α+2tan⁡α2−tan⁡2α\cos^2\alpha\to\dfrac{\tan^2\alpha+2\tan\alpha}{2-\tan^2\alpha}；代入 =20=20。
  • 必考模板：正弦余弦二次齐次式 → 除以 cos⁡2α\cos^2\alpha 转 tan⁡α\tan\alpha。

例三：化简

  • 用诱导公式约简得 f(α)=−sin⁡αf(\alpha)=-\sin\alpha。
  • 恒成立：sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha，与象限无关。

例四：给值求值 + 换元

  • cos⁡α=−13\cos\alpha=-\dfrac13（sin⁡>0\sin>0）→ sin⁡α=223\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt2}{3}，tan⁡α=−22\tan\alpha=-2\sqrt2。
  • 换元法（关键）：把括号内复杂角整体令为 t/T/St/T/S，看与目标角差多少，再用诱导公式。
  • 老师原话："没有换元解决不了的问题。"（例十二~十四皆此法）

三、三角函数图像

来源与五点作图

  • sin⁡x\sin x=单位圆上动点 yy 坐标 → 波浪形，周期 2π2\pi。
  • 五点：x=0,π/2,π,3π/2,2πx=0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi 对应 y=0,1,0,−1,0y=0,1,0,-1,0。

典型图像

函数 关键点 / 特征
y=sin⁡x2y=\sin\dfrac{x}{2} 周期 4π4\pi；(0,0),(π,1),(2π,0),(3π,−1),(4π,0)(0,0),(\pi,1),(2\pi,0),(3\pi,-1),(4\pi,0)
y=cos⁡xy=\cos x (0,1),(π/2,0),(π,−1),(3π/2,0),(2π,1)(0,1),(\pi/2,0),(\pi,-1),(3\pi/2,0),(2\pi,1)
y=−cos⁡xy=-\cos x 关于 xx 轴翻转
y=2sin⁡(2x−π/4)y=\sqrt2\sin(2x-\pi/4) 令 T=2x−π/4∈[0,2π]T=2x-\pi/4\in[0,2\pi]；五点 x=π/8,3π/8,5π/8,7π/8,9π/8x=\pi/8,3\pi/8,5\pi/8,7\pi/8,9\pi/8 对应 y=0,2,0,−2,0y=0,\sqrt2,0,-\sqrt2,0
  • 作图模板：y=Asin⁡(ωx+φ)y=A\sin(\omega x+\varphi) 先令整体 ωx+φ\omega x+\varphi 求范围，再五点作图。

四、含绝对值 / 分段图像

  • y=2∣sin⁡x∣+sin⁡xy=2|\sin x|+\sin x：
    • [0,π][0,\pi]：3sin⁡x3\sin x，峰值 (π/2,3)(\pi/2,3)；
    • [π,2π][\pi,2\pi]：−sin⁡x-\sin x，峰值 (3π/2,1)(3\pi/2,1)。
  • ∣sin⁡x∣|\sin x|：把 sin⁡x\sin x 下方波翻上去；sin⁡∣x∣\sin|x|：把右半边翻到左边。

五、读图解三角不等式

取大函数

  • max⁡{sin⁡x,cos⁡x}<0  ⟺  \max\{\sin x,\cos x\}<0\iff 二者同负   ⟺  \iff 第三象限   ⟺  x∈(π,3π/2)+2kπ\iff x\in(\pi,3\pi/2)+2k\pi。

标准解法（三句话）

  1. 作直线 y=ay=a；2. 画 y=sin⁡xy=\sin x（或 cos⁡x\cos x）；3. 定 xx 范围，看图说话。

速查表

不等式 解集（k∈Zk\in\mathbb Z）
2cos⁡x>−12\cos x>-1（即 cos⁡x>−12\cos x>-\dfrac12） (−2π3+2kπ, 2π3+2kπ)\left(-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\ \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\right)，选 B
−32<sin⁡x<32-\dfrac{\sqrt3}{2}<\sin x<\dfrac{\sqrt3}{2} (2kπ−5π6,2kπ−π3)∪(2kπ+π3,2kπ+5π6)\left(2k\pi-\dfrac{5\pi}{6},2k\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)\cup\left(2k\pi+\dfrac{\pi}{3},2k\pi+\dfrac{5\pi}{6}\right)
y=1−2sin⁡xy=1-2\sin x 在 [−2π3,5π6]\left[-\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right] 有两交点 a∈(−1,0)∪(1+3,3)a\in(-1,0)\cup(1+\sqrt3,3)
  • 交点个数题用"平移法"：保留一条图像，动坐标轴。

六、作业

  • 三角函数图像：107 页第 1–9 题；例二/例三图像须自画熟练，例四及变式独立复算。

七、必考提醒

  • 齐次式→tan⁡\tan、复杂角→换元 是诱导公式板块两大必杀；读图解不等式是图像板块高频大题，务必"画图说话"。