第2次课 · 概率统计（二）与圆锥曲线（一）

本课约125分钟。前半段补完概率统计中的线性回归与二项概率函数，后半段进入圆锥曲线，重点训练“识别结构、降低计算量、把几何条件转成代数约束”。
逐字稿没有保留所有题目的完整题干，因此本总结只还原能够由课堂讲解可靠确认的公式、模型和方法；个别例题以“方法框架”呈现。

1. 本课内容总览

本节课可以分成两个阶段：

第一阶段：概率统计专题收尾

相关系数的计算与公式化简；
线性回归方程及预测；
非线性模型的对数变换；
二项分布概率关于参数 $p$ 的最值；
用导数研究概率函数。

第二阶段：圆锥曲线专题开启

从图形结构识别平行四边形；
椭圆中的定面积与参数化；
双曲线、渐近线、切线和面积不变量；
抛物线切点、切线交点与圆的约束；
弦长、点到直线距离和面积最值。

本课的共同主线是：

先看清题目提供了哪些数据和结构，再补齐缺少的量；尽量把复杂计算拆成固定模块，而不是一上来就暴力联立。

2. 线性回归：看似复杂，实质是“缺什么补什么”

2.1 为什么容易遗忘

线性回归题不是概念特别难，而是公式长、计算步骤多、日常训练频率低。学生常见的问题不是完全没有学过，而是：

忘记相关系数公式；
不知道题目已经提供了哪些统计量；
不会把原始公式化成更便于计算的形式；
均值、平方和、乘积和之间容易混淆；
考场看到大量数据后心态先乱。

老师建议把一道完整例题单独整理在一页纸上，明确标出每个量的来源，把它作为固定案例长期保留。

2.2 基本统计量

对数据

$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n),$

先计算均值：

$\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i,\qquad \bar y=\frac1n\sum_{i=1}^{n}y_i.$

这一步是后续计算相关系数和回归系数的基础。

2.3 相关系数

线性相关系数为

$r= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}.$

原始形式不适合逐项展开，计算时应使用三个恒等式：

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 =\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar x^2,$

$\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2 =\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\bar y^2,$

$\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) =\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar x\bar y.$

因此，拿到题目后应先做一张“已有量—待求量”清单：

模块	可能由题目直接给出	常需自己补算
均值	$n,\sum x_i,\sum y_i$	$\bar x,\bar y$
$x$ 的离差平方和	$\sum x_i^2$	$\sum x_i^2-n\bar x^2$
$y$ 的离差平方和	$\sum y_i^2$ 或直接给结果	$\sum y_i^2-n\bar y^2$
交叉项	$\sum x_iy_i$	$\sum x_iy_i-n\bar x\bar y$

2.4 线性回归方程

线性回归方程通常写成

$\hat y=\hat b x+\hat a,$

其中

$\hat b= \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2},$

$\hat a=\bar y-\hat b\bar x.$

标准流程：

求 $\bar x,\bar y$ ；
计算离差平方和与交叉项；
求斜率 $\hat b$ ；
由 $\hat a=\bar y-\hat b\bar x$ 求截距；
写出回归方程；
将指定的 $x$ 代入，完成预测。

2.5 两种常见考法

线性回归大题通常集中在两类：

计算相关系数，判断线性相关程度；
求线性回归方程，并根据方程预测产量、销量或其他指标。

它们的建模方式很固定，真正的难点是数据处理的熟练度和计算准确率。

3. 非线性回归：先变成直线，再还原

课堂第二道回归题对原模型做了变换。核心思想是：

原变量之间不是线性关系时，通过取对数等方法构造新变量，把模型转成线性回归。

3.1 指数模型

若原模型为

$y=ae^{bx},$

两边取自然对数：

$\ln y=\ln a+bx.$

令

$u=\ln y,$

则

$u=bx+\ln a,$

成为关于 $x,u$ 的线性模型。

3.2 幂函数模型

若原模型为

$y=ax^b,$

则

$\ln y=\ln a+b\ln x.$

令

$u=\ln y,\qquad v=\ln x,$

即可对 $u,v$ 做线性回归。

3.3 标准步骤

判断题目给出的是指数模型还是幂函数模型；
按题意定义新变量；
对新变量计算均值和回归系数；
得到变换后的线性回归方程；
用指数运算还原原变量的模型；
代入数据预测。

易错点是只完成变换后的回归方程，却忘记回到原来的 $x,y$ 模型。

4. 二项概率函数与导数最值

4.1 典型问题

若进行5局独立比赛，每局获胜概率为 $p$ ，恰好获胜3局的概率为

$f(p)=\binom53p^3(1-p)^2,\qquad 0\le p\le1.$

题目要求研究 $f(p)$ 的最大值。

4.2 求导

$f'(p) =10\left[3p^2(1-p)^2-2p^3(1-p)\right].$

提取公因式：

$f'(p)=10p^2(1-p)(3-5p).$

在 $0<p<1$ 内， $p^2>0$ 、 $1-p>0$ ，所以导数符号由

$3-5p$

决定。

$0<p<\frac35$ 时， $f'(p)>0$ ；
$\frac35<p<1$ 时， $f'(p)<0$ 。

因此

$p=\frac35$

是最大值点。

最大值为

$f\left(\frac35\right) =\binom53\left(\frac35\right)^3\left(\frac25\right)^2 =\frac{216}{625}.$

4.3 2018年高考同型结构

课堂还联系了“20件产品中恰有2件不合格品”的题型：

$f(p)=\binom{20}{2}p^2(1-p)^{18}.$

虽然次数很高，但求导后绝大部分因子可以保留为乘积，不需要完全展开。导数的变号核心最终落在一个一次因子上，并得到最大值点

$p=\frac{2}{20}=0.1.$

4.4 一般结论

对

$f(p)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},$

求导并提取公因式：

$f'(p) =\binom nkp^{k-1}(1-p)^{n-k-1}(k-np).$

在 $0<p<1$ 内，导数符号主要由 $k-np$ 决定，因此最大值点为

$p=\frac kn.$

这类题表面是二项分布，实质上是“概率表达式 + 高次函数求导 + 单调性”。

5. 圆锥曲线的总体策略

老师在进入圆锥曲线时强调，这一板块会花更长时间。圆锥曲线不是题目数量不够，而是方法多、计算链长。

本课提出的基本原则：

先画图，寻找平行、对称、中点、切线、渐近线等结构；
能用几何结构解决时，不急着联立方程；
确实需要代数计算时，把任务拆成若干模块；
设点时优先选择能自动满足曲线方程的参数形式；
面积题首先想到“底 × 高”，分别处理弦长和点到直线距离；
注意特殊位置，但不能把“试出来”当成证明；
遇到复杂答案时，先辨认每一部分在完成什么任务。

6. 椭圆例题一：由对角线中点识别平行四边形

课堂例题涉及椭圆

$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$

及焦点、弦和给定点。

题目如果给出两条线段的中点重合或两条对角线互相平分，应立即想到：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

一旦识别出平行四边形，便可直接得到：

对边平行；
对边相等；
相应直线斜率相同；
已知一条边或两个特殊点后，可快速写出目标直线方程。

课堂得到目标斜率为

$k=\frac34.$

若直线经过已知点 $P(x_0,y_0)$ ，可直接写成

$y-y_0=\frac34(x-x_0).$

这道题的价值不是某一条直线的答案，而是训练：

看到“对角线互相平分”时，优先从平行四边形处理，不要直接将直线与椭圆暴力联立。

7. 椭圆例题二：参数化与定面积

7.1 椭圆上的点

对椭圆

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$

可设椭圆上的点为

$P(a\cos\theta,b\sin\theta).$

这一设法自动满足椭圆方程，适合处理：

点到直线的距离；
三角形面积；
坐标范围；
与角度有关的关系。

7.2 面积题的两条路线

路线一：参数化。

用 $P(a\cos\theta,b\sin\theta)$ 设点；
求固定底边；
将点到固定直线的距离写成 $\theta$ 的函数；
根据面积条件确定 $\theta$ 或点坐标。

路线二：先考察特殊位置。

若椭圆顶点、焦点等特殊点恰好满足面积条件，可帮助猜测答案；但猜测后必须用参数、距离或曲线性质完成证明。

7.3 易错点

一上来设过动点的直线并与椭圆联立，造成计算爆炸；
特殊点试对后直接当成唯一解；
面积已知，却没有先固定底边和高；
忽略对称位置可能产生两个解。

8. 双曲线：切线与面积不变量

8.1 从反比例函数回顾不变量

对反比例函数

$y=\frac{k}{x},$

曲线上任一点 $(x,\frac{k}{x})$ 与坐标轴围成的矩形面积为

$x\cdot\frac{k}{x}=k,$

是定值。

若在该点作切线，切线与坐标轴围成的三角形面积同样是定值。这个初中结论可以推广到双曲线及其渐近线。

8.2 课堂例题的快速参数法

题目涉及一条双曲线及两条渐近线。设两点为

$M(x_1,\sqrt3x_1),\qquad N(x_2,-\sqrt3x_2).$

这样设点的好处是：

两点自动位于对应渐近线上；
$OM,ON$ 可直接由 $x_1,x_2$ 表示；
将相关点代入双曲线方程后，可得到 $x_1,x_2$ 的乘积关系；
最终可证明 $OM\cdot ON$ 为定值。

课堂得到

$OM\cdot ON=4.$

两条渐近线夹角固定为 $120^\circ$ ，所以三角形面积为

$S_{\triangle MON} =\frac12OM\cdot ON\sin120^\circ =\frac12\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3.$

8.3 方法价值

这类题若从一般点、一般直线出发，运算可能非常繁琐。高效做法是：

按渐近线直接设点；
用曲线条件得到坐标乘积；
把坐标乘积转成长度乘积；
用固定夹角求面积。

核心思想是：

面积是否为定值，往往取决于“两条边长度之积是否为定值”和“夹角是否固定”。

9. 抛物线综合：切线交点、圆约束与面积最值

这是本节课计算量最大、综合性最强的题。

9.1 抛物线与切点

抛物线为

$x^2=4y.$

设两个切点为

$A\left(x_1,\frac{x_1^2}{4}\right),\qquad B\left(x_2,\frac{x_2^2}{4}\right).$

抛物线在参数为 $x_i$ 的点处的切线为

$y=\frac{x_i}{2}x-\frac{x_i^2}{4}.$

两条切线的交点 $P$ 为

$P\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{x_1x_2}{4}\right).$

9.2 用弦 $AB$ 的方程降元

设弦 $AB$ 所在直线为

$y=kx+b.$

代入抛物线：

$x^2=4kx+4b.$

即

$x^2-4kx-4b=0.$

由韦达定理：

$x_1+x_2=4k,\qquad x_1x_2=-4b.$

所以切线交点可化为

$P(2k,-b).$

这一步非常关键：原来的两个切点参数 $x_1,x_2$ ，被直线参数 $k,b$ 取代。

9.3 交点在圆上

题目给出切线交点 $P$ 位于某个圆上，课堂得到约束

$4k^2+(4-b)^2=1.$

整理：

$k^2=\frac{-b^2+8b-15}{4}.$

圆的范围还给出

$3\le b\le5.$

这个圆条件的作用是消去 $k^2$ ，最终把面积化成关于 $b$ 的一元函数。

9.4 弦长

由

$x_1+x_2=4k,\qquad x_1x_2=-4b,$

有

$(x_1-x_2)^2 =(x_1+x_2)^2-4x_1x_2 =16(k^2+b).$

所以

$|x_1-x_2|=4\sqrt{k^2+b}.$

直线斜率为 $k$ ，弦长为

$|AB| =\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2| =4\sqrt{(1+k^2)(k^2+b)}.$

9.5 点到直线的距离

直线 $AB$ 写成

$kx-y+b=0.$

交点 $P(2k,-b)$ 到直线的距离为

$d= \frac{|2k^2+2b|}{\sqrt{1+k^2}} =\frac{2(k^2+b)}{\sqrt{1+k^2}}.$

9.6 面积表达式

$S_{\triangle PAB} =\frac12|AB|\cdot d.$

代入：

$S =\frac12\cdot 4\sqrt{(1+k^2)(k^2+b)} \cdot \frac{2(k^2+b)}{\sqrt{1+k^2}}.$

约去 $\sqrt{1+k^2}$ ，得到

$S=4(k^2+b)^{\frac32}.$

这是整道题最漂亮的一步：弦长中的 $\sqrt{1+k^2}$ 与点到直线距离的分母完全抵消。

9.7 消元并求最大值

由圆的约束：

$k^2+b =\frac{-b^2+12b-15}{4}.$

在

$3\le b\le5$

上研究该二次函数。其在区间上随 $b$ 增大而增大，故 $b=5$ 时取得最大值：

$k^2+b=5.$

因此

$S_{\max}=4\cdot5^{\frac32}=20\sqrt5.$

9.8 这道题的模块化结构

设两个切点；
写两条切线；
求切线交点；
设弦所在直线；
用韦达定理把交点写成 $k,b$ ；
利用交点在圆上建立 $k,b$ 的限制；
求弦长；
求交点到弦的距离；
写出三角形面积；
用圆条件消去 $k^2$ ；
化为一元二次函数求最值；
检查参数范围。

10. 本课的通用方法

10.1 数据题：先盘点，再代公式

线性回归不是从头计算所有数据，而是：

圈出题目已给的统计量；
列出公式真正缺少的量；
用简化恒等式补齐；
最后一次性代入。

10.2 概率最值：保留因式，不要完全展开

高次概率函数求导后，应尽可能提取

$p^{k-1}(1-p)^{n-k-1}$

等恒正因子，把符号判断压缩到一次因子。

10.3 几何优先于暴力联立

遇到中点、平行、对称、切线、渐近线时，先判断是否存在：

平行四边形；
相似或对称；
固定夹角；
长度乘积不变量；
面积不变量。

10.4 设点应服务于约束

椭圆：优先用 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ ；
渐近线：按直线方程直接设点；
抛物线 $x^2=4y$ ：设 $(t,t^2/4)$ ；
弦与曲线相交：用韦达定理保留根的和与积。

10.5 面积题要拆成“底”和“高”

对

$S=\frac12\times\text{底}\times\text{高},$

分别问：

底边是否为弦长，怎样用韦达求？
高是否为点到直线距离？
两个表达式中是否存在可以约掉的公共因子？

11. 本课易错点

把相关系数 $r$ 与回归斜率 $\hat b$ 混淆；
直接按原始定义逐项计算离差，导致计算量过大；
忘记 $\sum(x_i-\bar x)^2=\sum x_i^2-n\bar x^2$ ；
对数变换后忘记还原原模型；
二项概率函数求导时漏掉组合数或负号；
将高次函数完全展开，增加错误概率；
看见椭圆与直线就立即联立，没有先观察平行四边形；
特殊点试出答案后没有证明；
双曲线面积不变量中忽略固定夹角；
抛物线切线方程的常数项符号写错；
求出 $x_1+x_2,x_1x_2$ 后，没有及时将交点改写为 $P(2k,-b)$ ；
面积最值中忘记圆给出的参数范围；
根式约分前没有确认 $k^2+b\ge0$ ；
只看到最终复杂公式，没有理解各模块的任务。

12. 课后复盘建议

必须整理的一页：线性回归计算模板

应包含：

$\bar x,\bar y$ ；
三个离差化简公式；
$r$ 的计算；
$\hat b,\hat a$ 的计算；
题目已给量和待求量的标注；
一个完整预测步骤。

必须重做的一题：抛物线面积最值

重做时不要看答案，按以下标题分栏：

切点；
切线；
交点；
弦方程；
韦达；
圆约束；
弦长；
距离；
面积；
消元与最值。

建议形成的三张模型卡

模型卡1：回归统计量

$S_{xx}=\sum x_i^2-n\bar x^2,$

$S_{yy}=\sum y_i^2-n\bar y^2,$

$S_{xy}=\sum x_iy_i-n\bar x\bar y.$

模型卡2：二项概率最值

$\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$

在

$p=\frac kn$

处取得最大值。

模型卡3：抛物线切线弦

对 $x^2=4y$ ：

$A\left(x_1,\frac{x_1^2}{4}\right),\quad B\left(x_2,\frac{x_2^2}{4}\right),$

两切线交点：