本课约120分钟，时间为2026年8月1日，是暑期高三数学10次专题课的最后一课。课堂一方面补全导数中的极值点偏移、零点距离和函数—数列综合，另一方面把学习重点从“单个专题会做”提升到“整张试卷稳定发挥”。
部分例题的完整题干未进入逐字稿，以下只呈现课堂中能够可靠确认的方法、推导和复盘建议。

1. 本课内容总览

本节课主要处理：

1. 专题能力与整卷发挥之间的差距；
2. 极值点偏移的对称差函数法；
3. 极值点偏移的对数平均值法；
4. 对数平均值的指数版本；
5. 从条件和结论两端同时“搭桥”；
6. 利用切线估计两个零点之间的距离；
7. 偶函数在 (x=0) 处取得极值的二阶导数判断；
8. 导数与数列递推、裂项求和的综合；
9. 10次课之后的训练与复盘安排。

课堂开头给出的判断是：经过概率统计、圆锥曲线和导数专题训练，许多同学已经具备七八成的单专题能力，接下来的主要问题是：

怎样在有限时间和考试压力下，把分散的能力稳定地拼成一张完整试卷？

2. 极值点偏移是什么

设函数 (f(x)) 有两个相关点

$ x_1<x_2,

$

它们可能是同一水平线与函数图像的两个交点，也可能来自导函数的两个零点。题目常要求证明：

• (x_1+x_2) 大于或小于某个常数；
• 两点关于某条竖直线“不完全对称”；
• 两点到极值点的距离存在确定的大小关系。

这类问题称为极值点偏移。它的本质不是求出 (x_1,x_2)，而是研究两个隐式点的相对位置。

常用路线有：

1. 对称差函数；
2. 对数平均值；
3. 切线与零点距离放缩；
4. 同构后研究同一函数的两个原像。

3. 方法一：对称差函数

若希望证明

$ x_1+x_2>2c,

$

可以改写为

$ x_1>2c-x_2.

$

这把“两点之和”转化成了两个横坐标的大小比较。

若 (x_1,x_2) 满足

$ f(x_1)=f(x_2),

$

则可比较

$ f(x_2)

$

与

$ f(2c-x_2).

$

构造对称差函数

$ G(x)=f(x)-f(2c-x).

$

研究 (G) 在一侧区间上的符号，就能判断 (x_1) 与 (2c-x_2) 的大小，从而得到 (x_1+x_2) 与 (2c) 的关系。

标准流程

1. 把目标和式改写为镜像点比较；
2. 构造 (G(x)=f(x)-f(2c-x))；
3. 求 (G'(x))；
4. 研究 (G) 的单调性和端点值；
5. 得到 (G(x)) 的符号；
6. 借助 (f(x_1)=f(x_2)) 推回横坐标关系。

特点

对称差函数是传统且通用的方法，但常需要较长的构造和多层单调性讨论。它适合作为兜底工具，不一定是所有题的最短路线。

4. 方法二：直接对两个隐式方程作差

课堂更推荐在含指数、对数的极值点偏移中优先尝试对数平均值。

若 (x_1,x_2) 分别满足同一个方程，可写出两式：

$ F(x_1,a)=0,

$

$ F(x_2,a)=0.

$

两式直接作差，参数项和常数项常会消失。课堂例题整理后出现类似

$ \ln x_1-\ln x_2 -2(x_1-x_2) -\left(\frac1{x_1}-\frac1{x_2}\right) =0.

$

由于 (x_1\ne x_2)，可同时除以 (x_1-x_2)，将式子转成：

• 对数差商；
• 两点乘积的倒数；
• 常数。

这时每一部分都可以向 (x_1+x_2) 或其算术平均值靠拢。

5. 对数平均值及其倒数形式

对正数 (u\ne v)，对数平均值为

$ L(u,v)

\frac{u-v}{\ln u-\ln v}.

$

它满足

$ \sqrt{uv} < L(u,v) < \frac{u+v}{2}.

$

取倒数后，不等号方向改变：

$ \frac{2}{u+v} < \frac{\ln u-\ln v}{u-v} < \frac1{\sqrt{uv}}.

$

同时由算术—几何平均值不等式：

$ \frac{u+v}{2}\ge\sqrt{uv},

$

还可得到

$ \frac1{uv} \ge \frac{4}{(u+v)^2}.

$

于是原式中看似互不相关的

$ \frac{\ln u-\ln v}{u-v}, \qquad \frac1{uv}

$

都可以放缩成只含 (u+v) 的表达式。

6. 多个平均值统一到一个变量

课堂强调，使用平均值不等式时不要零散放缩，而要有明确目标：

把所有部分都变成同一个量的函数。

令

$ t=x_1+x_2,

$

原来的双变量关系经过放缩后可降为类似

$ \frac{2}{t}+rac{t}{4}<2

$

的一元不等式。

接下来只需移项、通分或化为一元二次不等式，即可求出 (t) 的范围，也就是 (x_1+x_2) 的范围。

整个过程为：

$ \text{两式作差} \rightarrow \text{除以 }x_1-x_2 \rightarrow \text{识别平均值} \rightarrow \text{统一为 }x_1+x_2 \rightarrow \text{一元不等式}.

$

7. 对数平均值的指数版本

在对数平均值中令

$ u=e^{p}, \qquad v=e^{q},

$

则

$ \ln u-\ln v=p-q.

$

所以

$ L(e^p,e^q)

\frac{e^p-e^q}{p-q}.

$

由平均值不等式得到

$ e^{\frac{p+q}{2}} < \frac{e^p-e^q}{p-q} < \frac{e^p+e^q}{2}.

$

这就是对数平均值的指数版本。

当题目直接出现

$ \frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}

$

时，应立刻想到它是指数函数的割线斜率，也是对数平均值换元后的形式。

8. 条件与结论之间的“双向搭桥”

综合证明题常出现：条件很复杂，结论也很复杂，看不出怎样直接相连。

课堂给出的策略是从两端同时出发。

从条件出发

先把

$ f(x_1)=f(x_2)

$

或其他条件整理成一个熟悉的差商，例如

$ \frac{e^{x_1}-e^{x_2}}{x_1-x_2}.

$

从结论倒推

把要证的导数符号或大小关系改写为同一个差商与另一个量的比较。

用工具合龙

在中间使用：

• 对数平均值；
• 指数版本平均值；
• 三角函数和差化积；
• 切线不等式；
• 算术—几何平均值。

最终让条件推出的上界与结论需要的下界接在一起。

这比从条件一路盲目化简更有方向感。

9. 三角函数中的基础放缩

课堂在搭桥过程中再次使用了

$ \sin t<t \qquad(t>0).

$

等价地，

$ \frac{\sin t}{t}<1.

$

几何上可以理解为正弦函数图像位于原点处切线

$ y=t

$

的下方。

含三角差时还可使用和差化积：

$ \cos u-\cos v

-2\sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}.

$

将差值变成两个正弦的乘积后，就能分别应用

$ |\sin z|\le|z|.

$

10. 零点距离放缩

若水平线

$ y=m

$

与函数图像交于两点

$ x_1<x_2,

$

题目要求估计

$ x_2-x_1,

$

可以在关键点作切线。

若函数为凸函数，图像位于切线之上；若为凹函数，图像位于切线之下。切线与水平线的交点横坐标容易求出，记为

$ x_1',x_2'.

$

由图形位置可比较：

$ x_1>x_1', \qquad x_2<x_2'

$

或相反关系，从而得到

$ x_2-x_1 < x_2'-x_1'.

$

这是一种“用切线交点夹住真实零点”的方法。

方法关键

1. 先明确函数凸凹性；
2. 选择切线容易写出的特殊点；
3. 求切线与目标水平线交点；
4. 根据图像与切线的上下关系比较横坐标；
5. 对两端差值作放缩。

11. 偶函数在零点取得极值

若 (f) 是偶函数：

$ f(-x)=f(x),

$

则其导函数为奇函数：

$ f'(-x)=-f'(x).

$

特别地，若可导，则

$ f'(0)=0.

$

要判断 (x=0) 是极大值点还是极小值点，可以考察二阶导数：

• 若

$ f''(0)<0,

$

则 (f') 在零点附近递减；结合 (f'(0)=0)，左侧为正、右侧为负，因此 (f) 先增后减，(x=0) 为极大值点；

• 若

$ f''(0)>0,

$

则零点附近通常先减后增，(x=0) 为极小值点。

更规范的局部论证

只写 (f''(0)<0) 有时略显跳步。完整写法是：

1. 由 (f'') 连续且 (f''(0)<0)，存在包含零的小区间，使 (f''(x)<0)；
2. 所以 (f') 在该区间严格递减；
3. 又 (f'(0)=0)；
4. 因而零点左侧 (f'(x)>0)，右侧 (f'(x)<0)；
5. 得出 (x=0) 为极大值点。

12. 导数与数列：切线生成递推

课堂处理了指数函数切线与数列结合的问题。

在点

$ (a_n,e^{a_n})

$

处，函数

$ y=e^x

$

的切线方程为

$ y-e^{a_n}

e^{a_n}(x-a_n).

$

令切线与 (x) 轴相交，即令 (y=0)，得到交点横坐标：

$ x=a_n-1.

$

若该横坐标定义为下一项，就得到递推：

$ a_{n+1}=a_n-1.

$

因此 ({a_n}) 是公差为 (-1) 的等差数列。

这道题的关键不是复杂求导，而是把文字“在点处作切线，与坐标轴相交”逐句翻译为切线方程和 (y=0)。

13. 数列综合：裂项与基本导数不等式

数列求和中，某些根式或分式项需要先裂项。课堂强调，看到相邻下标结构时，应尝试写成

$ b_n-b_{n+1}

$

的形式，使中间项连续抵消。

后续比较可转化为经典不等式：

$ t-\frac1t>2\ln t \qquad(t>1).

$

令

$ t=e^x, \qquad x>0,

$

则目标等价于

$ e^x-e^{-x}>2x.

$

构造

$ H(x)=e^x-e^{-x}-2x.

$

有

$ H'(x)=e^x+e^{-x}-2.

$

由基本不等式

$ e^x+e^{-x}\ge2,

$

得到

$ H'(x)\ge0.

$

又

$ H(0)=0,

$

所以对 (x>0)：

$ H(x)>0.

$

14. 考场策略：先拿到会做的分

最后一课再次强调，真正影响总分的往往不是最难的最后一问，而是：

• 前面会做的题有没有全部做对；
• 小题是否在合理时间内完成；
• 基础大题是否稳定拿满过程分；
• 卡题后能否及时跳过；
• 是否把大量时间投入低收益难题；
• 计算和符号错误是否得到控制。

如果把自己看作一套“考试系统”，训练目标应同时包括：

$ \text{提高平均得分}

$

和

$ \text{降低成绩波动}.

$

不只是偶尔做出一道难题，而是让每次考试的结果更高、更稳定。

15. 10次课之后的训练方式

课堂建议将训练拆成不同维度，而不是永远整套刷题：

1. 小题专项：记录完成时间、正确率和错因；
2. 基础大题专项：训练规范表达和稳定得分；
3. 专题深挖：概率统计、圆锥曲线、导数分别复盘模型；
4. 整卷模拟：训练时间分配、取舍与心态；
5. 错题回炉：只重做真正暴露方法漏洞的题；
6. 答案阅读：不仅看每一步对不对，还要补出步骤之间“为什么这样做”。

单点能力已经建立后，下一阶段要把它们组装成完整解题系统。

16. 本课易错点

1. 极值点偏移直接尝试求出两个点；
2. 对称差函数中的镜像中心选错；
3. 构造 (f(x)-f(2c-x)) 后忘记利用 (f(x_1)=f(x_2))；
4. 两个隐式方程不先作差，保留过多参数；
5. 除以 (x_1-x_2) 前没有说明两根不同；
6. 对数平均值取倒数后不等号方向不变；
7. 多个放缩没有统一目标变量；
8. 指数差商看不出是对数平均值的指数版本；
9. 只从条件出发盲目化简，不从结论倒推；
10. 使用 (sin t<t) 时不检查变量符号；
11. 零点距离放缩中把凸函数与切线的上下位置写反；
12. 偶函数直接断言零点为极值点；
13. 只用 (f''(0)<0) 下结论，没有交代零点附近导数变号；
14. 切线—数列题没有令 (y=0) 求横截距；
15. 数列求和看不出相邻项裂项；
16. 为最后一问投入过多时间，丢掉前面的稳定分。

17. 建议形成的五张模型卡

模型卡1：对称差函数

$ G(x)=f(x)-f(2c-x).

$

用于比较两个同值点关于 (x=c) 的偏移。

模型卡2：对数平均值偏移

$ \text{两式作差} \rightarrow \text{差商} \rightarrow \text{平均值不等式} \rightarrow x_1+x_2.

$

模型卡3：零点距离切线放缩

$ \text{图像与切线的位置} \rightarrow x_1,x_2\text{ 的界} \rightarrow x_2-x_1\text{ 的界}.

$

模型卡4：偶函数零点极值

$ f\text{ 偶} \Rightarrow f'\text{ 奇}, \quad f'(0)=0.

$

再用 (f''(0)) 控制局部变号。

模型卡5：切线生成数列

$ y-f(a_n)=f'(a_n)(x-a_n),

$

令 (y=0) 得到下一项递推。

18. 整套课程一句话总结

这10次课完成的不是一份题目答案合集，而是一套从陌生情境到可执行模型的翻译系统：概率统计靠状态与递推，圆锥曲线靠斜率、韦达和对偶，导数靠同构、放缩、极值与边界；最后要做的是把这些单点能力练成整张试卷上的稳定发挥。