第1讲 大纲 · 直线与圆的方程（直线部分）
【概念】
- 倾斜角 α
- 定义：x 轴正向与直线向上方向所成角
- 规定：平行/重合于 x 轴时 α = 0°
- 取值范围：
α ∈ [0°, 180°)
- 斜率 k
- 定义：
k = tan α - 不存在情形：α = 90°（竖直直线）
- 两点式：
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)（x₁ = x₂ 时不存在）
- 定义：
- 方向向量与法向量（针对
Ax + By + C = 0）- 方向向量：
(B, −A) - 法向量：
n = (A, B)
- 方向向量：
- 直线系
- 含参方程可分离为「不含参部分 + k·含参部分 = 0」
- 表示过两条定直线交点的直线族
【方法】
- 平行判定
- 均有斜率：
k₁ = k₂ - 或两直线均无斜率（均垂直 x 轴）
- 前提：两直线不重合
- 均有斜率：
- 垂直判定
- 均有斜率：
k₁·k₂ = −1 - 特殊：一线无斜率（垂直 x 轴）与另一线
k = 0（平行 x 轴）
- 均有斜率：
- 选方程形式
- 已知点+斜率 → 点斜式
- 已知斜率+ y 截距 → 斜截式
- 已知两点 → 两点式
- 已知两轴截距 → 截距式
- 受限情形（过原点/垂直坐标轴）→ 退回一般式
- 直线系定点
- 分离参数法：令两部分分别为 0，解交点即得定点
- 点到直线距离推导
- 向量投影法：
d = |PQ·n| / |n|
- 向量投影法：
- 三角形面积推导
- 向量法：
S = ½√(|OA|²|OB|² − (OA·OB)²)
- 向量法：
【公式】
- 斜率定义：
k = tan α - 两点斜率：
k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) - 点斜式：
y − y₀ = k(x − x₀) - 斜截式：
y = kx + b - 两点式：
(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁) - 截距式：
x/a + y/b = 1 - 一般式：
Ax + By + C = 0 - 点到直线距离：
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) - 两平行线距离：
d = |C₁ − C₂| / √(A² + B²) - 三角形面积：
S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|
【例题结论】
- 平行系数成比例易漏解：如
a = 1或a = −2两组解，须排除重合 - 垂直勿忘特殊情形：垂直 x 轴 ∥ 平行 x 轴组合；参数可
= 0 - 截距之和为 0 不止一种：除
x/a − y/a = 1外，还含过原点直线（如y = 2x） - 倾斜角跨 90° 时斜率须写并集：例
α ∈ [0, π/4] ∪ [π/2, π)对应k ∈ (−∞, 1] - 直线系定点：
(2k+5)x+(3k+4)y+(7k−2)=0恒过(34/7, −39/7)，缺l₂: 2x+3y+7=0 - 中点面积：
M(1,2)为AB中点（A、B 在坐标轴上）⇒A(2,0), B(0,4)，S△AOB = 4 - 取值范围书写规矩：一律用区间/集合，绝不只写
k < 1类松散不等式
速查表
| 名称 | 公式 / 结论 |
|---|---|
| 倾斜角范围 | α ∈ [0°, 180°) |
| 斜率定义 | k = tan α（α = 90° 时不存在） |
| 两点斜率 | k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) |
| 点斜式 | y − y₀ = k(x − x₀) |
| 斜截式 | y = kx + b |
| 两点式 | (y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁) |
| 截距式 | x/a + y/b = 1（不能表垂直轴/过原点） |
| 一般式 | Ax + By + C = 0（可表任意直线） |
| 平行 | k₁ = k₂ 或均无斜率（不重合） |
| 垂直 | k₁k₂ = −1，或一者无斜率、另一者 k = 0 |
| 点到直线距离 | `d = |
| 平行线距离 | `d = |
| 三角形面积 | `S = ½ |
| 直线系定点 | 分离参数 ⇒ 两定直线交点 |