第十六讲 对数（概念 · 运算 · 化简求值）

来源：20260802182655-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 高一数学 X 班（序班），第 16 讲（承接指数 / 对数函数） 说明：已剔除课前 / 课间闲聊、点名、草稿本发放、计算器玩笑与转录乱码（大量无意义英文音节与闲谈）；修正口语口误与 ASR 符号错转；按内容逻辑重排分段。取值范围一律以集合 / 区间形式作答。

一、引入：对数是指数运算的逆运算

绝大多数同学此前没学对数。对数与指数互为逆运算。

例：2³ = 8，用对数式表达即 log₂ 8 = 3。 含义：问"2 的几次方等于 8"，答案是 3，所以 log₂ 8 = 3。

类似地：

• 2 的几次方等于 1/4？→ 2⁻² = 1/4，故 log₂(1/4) = −2；
• 2 的几次方等于 1？→ 2⁰ = 1，故 log₂ 1 = 0；
• 2 的几次方等于 √2？→ 2^(1/2) = √2，故 log₂ √2 = 1/2。

二、对数的定义与要素

若 aᵇ = N，则数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logₐ N = b。 其中 a 叫底数（写在右下角），N 叫真数。

取值范围（必须牢记）：

• 底数 a > 0 且 a ≠ 1。
  • 若 a = 1，"1 的几次方等于 8" 无解；
  • 若 a = 0，"0 的几次方等于 8" 也无解；
  • a 为负数时同样会出问题。
• 真数 N > 0。例如 log₂(−4) 无解（2 的任何次方都不可能为负）。

由此得两条结论：

• 零和负数没有对数（logₐ 0 无意义）；
• 1 的对数为 0：a⁰ = 1 ⇒ logₐ 1 = 0；
• 底的对数等于 1：a¹ = a ⇒ logₐ a = 1。

结果（对数的值）属于全体实数，即 logₐ N ∈ ℝ。

三、两类特殊对数

• 常用对数：以 10 为底，记作 lg N（= log₁₀ N）。源于科学计数法（如 6×10⁴）。
• 自然对数：以 e 为底，e ≈ 2.71828（无理数，自然对数的底数），记作 ln N（= logₑ N）。

两句话同义：2³ = 8 与 log₂ 8 = 3 只是同一事实的两种写法。读法上 log₂ 8 读作"以 2 为底 8 的对数"，日常直接说 log₂ 8 即可。

四、对数的运算法则

口诀：化积为和、化商为差。

1. 化积为和：logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N 例：log₂ 8 = log₂(2×4) = log₂ 2 + log₂ 4 = 1 + 2 = 3；log₂ 4 还可继续拆。
2. 化商为差：logₐ(M/N) = logₐ M − logₐ N 例：log₂(16/4) = log₂ 16 − log₂ 4 = 4 − 2 = 2。
3. 幂运算：logₐ(Mᵅ) = α · logₐ M 例：log₂(4³) = 3 log₂ 4。
4. 对数恒等式：a^(logₐ N) = N 例：2^(log₂ 3) = 3（因为 log₂ 3 表示"2 的几次方 = 3"，再作为 2 的指数即回到 3）。

建议把以上公式抄在小纸条上随时查看。常用小式：lg 2 + lg 5 = lg 10 = 1；log 100 = 2（不是 10，易踩坑）。

五、换底公式与倒数关系

换底公式：logₐ M = log_c M / log_c a（c 可为任意合法底数，常取 10、e 或统一底）。

证明：设 logₐ M = b，则 aᵇ = M。两边同取以 c 为底的对数： log_c(aᵇ) = log_c M ⇒ b · log_c a = log_c M ⇒ b = log_c M / log_c a。 故 logₐ M = log_c M / log_c a。

推论：

• 倒数关系：logₐ b = 1 / log_b a。 证明：logₐ b = ln b / ln a，log_b a = ln a / ln b，互为倒数。
• 连锁倒数：logₐ b · log_b c · log_c a = 1（换底后分子分母全消）。
• 幂次公式：log_{aᴮ}(Mᴺ) = (N/B) · logₐ M。 推导：统一换成 ln， log_{aᴮ}(Mᴺ) = ln(Mᴺ)/ln(aᴮ) = (N ln M)/(B ln a) = (N/B) · (ln M/ln a) = (N/B) logₐ M。

六、题型一：对数式有意义（定义域）

例一

式子含底数 (a+1)、真数 (4−a)。有意义需：

• a+1 > 0 且 a+1 ≠ 1；
• 4−a > 0。 ⇒ a > −1 且 a ≠ 0，且 a < 4。 结论：a ∈ (−1, 0) ∪ (0, 4)，选 B。

例二

• 底数 2−3a > 0 且 2−3a ≠ 1；
• 真数 > 0。 ⇒ 0 < a < 2/3。结论：a ∈ (0, 2/3)，选 C。

例三

真数 −x² + x + 6 > 0，且 x−2 > 0 且 x−2 ≠ 1。

• −x² + x + 6 > 0 ⇒ x² − x − 6 < 0 ⇒ (x−3)(x+2) < 0 ⇒ x ∈ (−2, 3)；
• x−2 > 0 ⇒ x > 2；
• x−2 ≠ 1 ⇒ x ≠ 3。 综合 x ∈ (2, 3)，选 B。

变式一

同理可得 取值范围 a ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1)。

规矩提醒（与第三讲一致）：凡问"取值范围"，必须用集合 / 区间形式回答（如 (−1,0)∪(0,4) 或 {a | a>−1}），只写 "a>−1" 这类纯不等式会扣分。

七、题型二：对数式与指数式互化

两种互化操作：

• 对数式做指数运算：如 10¹⁰ = 10^(log₁₀ x) = x；
• 指数式做对数运算：两边同时取同底对数。

例：7ˣ = 9 的等价形式

两边同取以 7 为底的对数：log₇(7ˣ) = log₇ 9 ⇒ x · log₇ 7 = log₇ 9 ⇒ x = log₇ 9。

变式一

已知 (1/7) log_z Y = X，则 log_z Y = 7X，等价指数式为 z^(7X) = Y。

变式二（多选题，选 A C D）

互化要点：Aᵇ = M ⇔ logₐ M = b。遇到大数先写成幂：

• 16 = 2⁴，8 = 2³，25 = 5²，125 = 5³，27 = 3³，log₃(1/3) = log₃(3⁻¹) = −1。 据此可快速判断互化是否正确。

八、题型三：对数运算与化简（换底 · 抵消）

例（换底求值）

计算 log₂₇ 16 / log₃ 8：

• 法一（全换 ln）：= (ln16/ln27) ÷ (ln8/ln3) = (4ln2 / 3ln3) ÷ (3ln2 / ln3) = (4/3 · log₃ 2) / (3 · log₃ 2) = 4/9。
• 法二（化同底直接约）：= ⁴⁄₃ log₃ 2 ÷ 3 log₃ 2 = 4/9。

例（连锁相消）

形如 log₅ 3 · log₂₅ 2 · log₃₂ 5 的连乘，利用换底后分子分母连环相消；原题结合各底数的方次（如 9=3²、25=5²、32=2⁵）把方次提为系数，最终化简为常数（课堂口算得 8，具体底数组合以讲义为准）。

例（展开抵消归零）

形如 log₁₄ 7 − 2log₁₄ 3 + … 的式子，先按 14 = 2×7 将各对数换底展开为 log 2、log 3、log 7 等项，再逐项抵消，结果为 0。

方法：与"对数式做指数运算"（把对数当指数套回底数）结合使用；计算时注意"消消消"。

九、题型四：对数方程（换元 · 定义域优先）

例一

解方程 x^(4/3) − 2x^(2/3) − 3 = 0。 令 t = x^(2/3)（注意 t > 0），则 t² − 2t − 3 = 0 ⇒ (t−3)(t+1) = 0。 t = −1 舍去（t>0），取 t = 3 ⇒ x^(2/3) = 3 ⇒ x = 3^(3/2) = ±3√3。 结论：x = ±3√3。

例二

解方程 log₂(x+4) + log₂(x−1) = log₂(x+1) + 1。

• 定义域优先：x+4 > 0、x−1 > 0、x+1 > 0 ⇒ x > 1。
• 把常数 1 写成 log₂ 2，再将真数合并： log₂[(x+4)(x−1)] = log₂[2(x+1)]。
• 去掉对数号：(x+4)(x−1) = 2(x+1) ⇒ x² + 3x − 4 = 2x + 2 ⇒ x² + x − 6 = 0 ⇒ (x+3)(x−2) = 0。
• x = −3 不满足 x > 1，舍去；故 x = 2。

要点：对数方程先定定义域，再"合成真数"去对数号，最后验根。

十、拓展：指数连等与经典换底

已知 2ᵃ = 3ᵇ = m（m > 0），且 1/a + 1/b = 2，求 m。

• 由 2ᵃ = m ⇒ a ln 2 = ln m ⇒ a = ln m / ln 2 ⇒ 1/a = ln 2 / ln m；
• 由 3ᵇ = m ⇒ b = ln m / ln 3 ⇒ 1/b = ln 3 / ln m；
• 1/a + 1/b = (ln 2 + ln 3)/ln m = ln 6 / ln m = 2；
• ⇒ ln 6 = 2 ln m ⇒ m² = 6 ⇒ m = √6。

十一、结课与作业

• 本课为对数入门，重点是公式（化积为和、化商为差、幂次、恒等式）与换底公式，以及"定义域优先""取值范围用集合形式"。
• 作业：必刷题第 69 页（当天不发，后续在必刷题上挑基础题）。
• 课后若幂函数 / 指数部分薄弱可看录播补；对数学习不受影响。

本讲修正 / 注意点

1. 工作单"四个结论"题出现选项修改插曲：老师中途让学生改 B 选项，后认错称 B 本就正确。已按正确数学事实列出：log 10 = 1、log 1 = 0、ln e = 1、ln 1 = 0，且零和负数没有对数（log 0 无意义）。
2. 第八、九、十节及例九 / 例十、例14 等大量运算步骤 ASR 转写严重混乱（字母 Z/Y/B 混用、系数错位、闲谈穿插），具体底数组合与中间系数以课堂讲义核对为准；所用方法（换底、化积化商、幂次、抵消、连锁相消）无误。
3. 取值范围一律以集合 / 区间回答（如 (−1,0)∪(0,4)），延续第三讲"纯不等式扣分"规矩。
4. 本讲"普及"未出现；符号已统一为标准数学符号（logₐ N、∈ ℝ 等）。