第一讲：集合的概念和集合间的基本关系

学习目标

• 理解集合与元素的关系，会使用 $\in$、$\notin$、$\subseteq$ 等符号。
• 掌握集合的确定性、互异性和无序性。
• 能在列举法、描述法和区间表示之间准确“翻译”。
• 会判断包含、真包含与相等，并计算有限集合的子集个数。

前置知识

本讲是高中数学的起点，不要求复杂的前置知识。你只需要熟悉自然数、整数、实数，以及简单方程和不等式。

核心概念

集合通常用大写字母 $A,B,C$ 表示，元素通常用小写字母 $a,b,c$ 表示。

$\displaystyle a\in A\quad\text{表示 }a\text{ 属于集合 }A,$

$\displaystyle a\notin A\quad\text{表示 }a\text{ 不属于集合 }A.$

例如，若 $A$ 表示所有奇数组成的集合，那么 $3\in A$，而 $4\notin A$。

集合的三个特征

1. 确定性：一个对象是否属于集合，必须有明确的判断标准。
2. 互异性：集合中的元素互不重复。
3. 无序性：元素的排列顺序不影响集合本身。

因此

$\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}.$

高中数学一开始看起来很抽象，但集合这一讲本质上是在学习一门“语言”：把汉语与数学语言互相翻译。先问清楚对象的大范围，再用共同特征把它说精确。

老师讲解

常用数集符号

常见包含关系为

$\displaystyle \mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C.$

列举法

把元素逐一写在花括号中，例如中国直辖市组成的集合可以写成

$\displaystyle \{\text{北京，上海，天津，重庆}\}.$

列举法适合元素有限或可以按规律列出的集合。

描述法：把它看成“定语从句”

描述法的基本结构是

$\displaystyle \{\text{元素的一般符号及范围}\mid\text{共同特征}\}.$

竖线 $\mid$ 可以看作连接词。竖线前面给出“大范围”，后面给出更精确的限制。

• $\{x\mid x=2k,\ k\in\mathbb Z\}$ 表示偶数集；
• $\{x\in\mathbb R\mid 1<x<2\}$ 表示 $1$ 与 $2$ 之间的实数；
• $\{(x,y)\mid y=x^2\}$ 表示抛物线 $y=x^2$ 上所有点组成的点集；
• $\{(x,y)\mid x+y>1\}$ 表示横、纵坐标之和大于 $1$ 的所有点。

区间表示

设 $a<b$：

• $[a,b]$ 是闭区间，包含两个端点；
• $(a,b)$ 是开区间，不包含两个端点；
• 出现无穷时必须使用圆括号，如 $[a,+\infty)$、$(-\infty,b]$。

记忆：方括号包进去，圆括号不包。

空集、包含与相等

不含任何元素的集合叫空集，记作 $\varnothing$。

• $A\subseteq B$：$A$ 中任意元素都属于 $B$；
• $A\subsetneqq B$：$A\subseteq B$，并且 $B$ 中至少还有一个元素不在 $A$ 中；
• $A=B$：$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。

子集个数

一个含 $n$ 个元素的集合，每个元素都有“取”或“不取”两种选择，因此：

$\displaystyle \text{子集个数}=2^n,$

$\displaystyle \text{真子集个数}=2^n-1,$

$\displaystyle \text{非空真子集个数}=2^n-2.$

集合相等与层级辨析

判断两个集合相等，要检查双向包含。含参数时还要把候选值代回，检查元素互异、分母不为零等限制。

特别注意：

$\displaystyle \varnothing\ne\{\varnothing\}.$

$\varnothing$ 没有元素，$\{\varnothing\}$ 有一个元素，这个元素恰好是空集。因此

$\displaystyle \varnothing\in\{\varnothing\},\qquad \varnothing\subseteq\{\varnothing\}.$

前一个式子是“属于”，后一个式子是“包含”。

含参包含关系：空集优先

若 $B=[m+1,2m-1]$，要求 $B\subseteq[-2,7]$，必须分两支：

1. $B=\varnothing$：由 $m+1>2m-1$ 得 $m<2$，空集自动满足包含；
2. $B\ne\varnothing$：先有 $m\ge2$，再由端点覆盖得到 $2\le m\le4$。

合并两支，答案是

$\displaystyle m\in(-\infty,4].$

含参包含题在草稿上画一条竖线：左边写“空集”，右边写“非空集”。同一分支里的条件取交集，不同分支的答案取并集。

典型例题

例 1：哪些描述能组成集合？

“到定点距离等于定长的点的全体”有明确标准，可以组成集合；“班上较高的男生”“自然数中较大的数”“比较接近 $0$ 的数”没有客观界限，不能组成集合。

判断关键词：标准是否确定。

例 2：描述法翻译。

$\{x\mid x=2k,\ k\in\mathbb Z\}$ 中，$k$ 取遍整数，所以 $2k$ 取遍所有偶数。竖线前是研究对象，竖线后是对象必须满足的特征。

例 3：封闭性。

设 $\displaystyle S=\{m+n\sqrt2\mid m,n\in\mathbb Z\}.$ 任取 $x_1=m_1+n_1\sqrt2$、$x_2=m_2+n_2\sqrt2$，则 $\displaystyle x_1+x_2=(m_1+m_2)+(n_1+n_2)\sqrt2\in S,$ 减法同理；乘法满足 $\displaystyle x_1x_2=(m_1m_2+2n_1n_2)+(m_1n_2+m_2n_1)\sqrt2\in S.$ 因此 $S$ 对加、减、乘封闭。

例 4：“规则怪谈”循环集合。

若 $3\in A$，且 $x\in A$ 时总有 $\dfrac1{1-x}\in A$，则 $\displaystyle 3\longrightarrow-\frac12\longrightarrow\frac23\longrightarrow3.$ 所以得到三元素循环 $A=\left\{3,-\dfrac12,\dfrac23\right\}$。若想让 $A$ 只有一个元素，需要 $\displaystyle a=\frac1{1-a}\Longrightarrow a^2-a+1=0,$ 其判别式 $\Delta=-3<0$，在实数范围内无解。

例 5：数轴覆盖。

$A=(-1,3)$，$B=\{x\mid x>a\}$。若 $A\subseteq B$，数轴上 $B$ 必须覆盖整个 $A$，所以 $a\le-1$。由于 $-1$ 本身不属于 $A$，这里可以取等号。

常见错误

“较大”“较高”“无限接近”等表述没有明确边界，不能直接用来定义集合。先检查确定性。

集合元素不能重复。含参数集合求值后，必须把结果代回去检查互异性。

$\{x\mid y=x^2\}$、$\{y\mid y=x^2\}$ 与 $\{(x,y)\mid y=x^2\}$ 的研究对象不同：分别关注 $x$、$y$ 和平面上的点。

无穷不是一个可以被“包含”的端点，所以 $+\infty$、$-\infty$ 旁边只能写圆括号。

含参包含题只画非空区间，会漏掉“小集合为空集时自动满足包含”的分支。

方法总结

学集合要坚持“翻译”思维：先确定研究对象，再写共同特征；遇到参数要检查互异性；判断两个集合相等要验证互相包含；含参包含先分空集与非空集；子集计数来自每个元素“取或不取”的二选一。

自我检查

1. 为什么“班上比较高的同学”不能组成集合？
2. 用描述法表示偶数集，并解释竖线两侧分别表示什么。
3. $\{x\mid y=x^2\}$ 与 $\{(x,y)\mid y=x^2\}$ 有什么不同？
4. 含 $5$ 个元素的集合有多少个非空真子集？
5. 请复述空集、子集与真子集的三个基本结论。
6. 为什么含参包含关系必须先讨论小集合是否为空集？